11.8. Порівняння гранично-елементних методів

Порівнюючи класичний і рівноважний варіанти МГЕ, зазначимо таке. МГЕ непридатний у тому випадку, коли невідомі фундаментальні рішення, наприклад, для оболонок постійної кривизни, анізотропних товстих пластин набір рівноважних рішень побудувати легше. По-друге, сингулярність фундаментальних рішень вимагає застосування спеціальних досить складних методик обчислення сингулярних інтегралів [18] . У той же час наявність сингулярності призводить до діагонального переважання у роздільній системі рівнянь, що покращує її обумовленість . Для ряду завдань МГЕ незамінний: наприклад, для розрахунку нескінченних тіл при локалізованих або зосереджених навантаженнях. Водночас МРГЕ показує гарні рішення для розподілених навантажень.

Далі має сенс обговорити відмінності МРГЕ від описаних варіантів МГЕ . По-перше, МРГЕ побудований на основі класичних варіаційних принципах механіки. Тому дискретні рівняння є аналогами відповідних безперервних рівнянь теорії пружності . Коректно побудовані функціонали гарантують збіжність наближених рішень до точних при правильному виборі апроксимацій. З іншого боку, рішення, отримані МГЕ , не відповідають умовам екстремальності деяких « механічних » функціоналів. Тому питання збіжності залишається відкритим. У книзі [18] показано, що МГЕ можна вважати одним з варіантів методу зважених нев'язок з сингулярними ваговими функціями. Коректність застосування таких вагових функцій та їх переваги в порівнянні з іншими не очевидні. По-друге, в МРГЕ природним чином виходять симетричні системи лінійних рівнянь , зручності яких , порівняно з несиметричними , незаперечні. По-третє, МРГЕ зручно поєднувати з МСЕ , так як обидва методи побудовані на використанні єдиного принципу мінімуму потенційної енергії тіла.

В цілому слід зазначити, що існують класи задач, в яких той чи інший з розглянутих методів буде найбільш ефективний.

11.9. Варіанти застосування методу. Порівняння з методом переміщень

Досвід використання МРГЕ дозволяє сформулювати наступні рекомендації щодо його застосування.

Якщо розраховується двовимірне однорідне тіло не надто складної форми, то його можна замінити одним супер-елементом. При цьому розв'язувальна система лінійних рівнянь матиме невисокий порядок (<300-400 рівнянь), так що система може бути ефекивно вирішена за допомогою прямих методів. Так як дискретизується тільки межа тіла, обсяг необхідної для введення в ЕОМ інформації різко скорочується порівняно з МСЕ. До того ж немає необхідності в обчисленні складних об'ємних інтегралів.

Якщо ж розраховується тривимірне тіло або двовимірне тіло складної форми, то порядок роздільної системи може виявитися настільки великим , що вирішити її прямими методами в реальні масштаби часу буде неможливо. Навіть якщо рішення буде отримано, точність його буде сумнівна внаслідок можливості накопичення великих помилок округлення при вирішенні систем підвищеної розмірності. Вихід полягає у використанні декількох супер-елементів. При цьому за рахунок отриманої стрічковості системи рівнянь вдається скоротити обчислювальні витрати, У цьому випадку оптимальними будуть блокові методи розв'язання систем , описані в додатку 4.

Слід зазначити, що можливість варіювання кількістю і розмірами суперелементів дозволяє гнучко управляти такими основними характеристиками систем лінійних рівнянь, як порядок n і ширина стрічки f. Як відомо [90, 131], яке визначається кількістю операцій час вирішення системи прямими методами пропорційно nf², тобто

T= . (11.48)

Для зменшення Т потрібно , з одного боку , зменшувати f , що веде до зростання n за рахунок збільшення необхідного числа супер-елементів. У межі супер-елемент може зменшитися до розміру кінцевого елемента. При цьому отримуємо метод рівноважних кінцевих елементів [37-40]. Його відмінність від методу переміщень полягає в тому, що базисні функції вибираються рівноважними. За рахунок цього вдається при обчисленні матриці жорсткості замість об'ємного інтеграла обчислювати поверхневий, який може виявитися простішим. Інший шлях зменшення часу рішення системи полягає в скороченні n. При цьому f збільшується до граничного значення f=n , що призводить до МРГЕ з одним супер-елементом.

Очевидно, завжди існує критичне число r=n/f [137, 149], вище якого ефективні граничні методи, а нижче - методи кінцевих елементів. Фактично в кожному розрахунковому випадку виникає дилема: що краще, вирішити велику стрічкову систему або малу нестрічкову? МРГЕ дозволяє оптимально вирішити це питання.

Звичайно, час вирішення системи лінійних рівнянь не завжди є вирішальним фактором для вибору тієї чи іншої дискретної методики розв'язку крайової задачі. Слід враховувати обсяг необхідних вихідних даних для ЕОМ, витрати на програмну реалізацію методу, зручність інтерпретації результатів розрахунку і т. п.

На ранніх етапах розвитку граничних методів вважалося, що вони, безумовно, краще кінцево - елементних методів, тому що дозволяють знизити розмірність задачі на одиницю. В даний час це твердження не зовсім вірно. Наприклад, при розрахунку шаруватих або інших періодично неоднорідних середовищ методами граничних елементів розрахункові системи мають більшу ширину стрічки і середню розмірність (700-1500 рівнянь). Існуючі програми не в змозі ефективно вирішити їх. Якщо ж застосувати звичайний МСЕ , то за рахунок малої ширини стрічки (100 - 150) вдається в реальні відрізки часу вирішити навіть надвеликі системи (5000-10000). Крім того, існують цілі класи завдань, для яких гранично- елементні методики ще не розвинені, наприклад задачі розрахунку оболонок змінної кривизни, багатошарових оболонок, підкріплених конструкцій і т. п.

З іншого боку , існують незаперечні « гранично- елементні » класи задач ■ - просторові задачі теорії пружності для однорідних тіл , безліч двовимірних проблем.

Найлогічніше концепція, що містить неперспективність суперечок про те , що краще - гранично- або кінцево- елементні методи , полягає в об'єднанні достоїнств обох методів в рамках єдиного узагальненого методу скінченних елементів . Така концепція сформульована Зенкевичем в книзі [ 47 ] . У МРГЕ вдається « матеріалізувати » цю концепцію , так як він легко зводиться і до звичайно -елементним , і до гранично- елементних методиками.

Отже , МРГЕ і МСЕ природним чином сполучаються між собою , так як побудовані на основі єдиного принципу стаціонарності потенційної енергії. На практиці комбінування цих методів проводиться очевидним чином : одна частина тіла представляється одним або декількома суперелементов , а інша - безліччю кінцевих елементів. Такий підхід особливо перспективний для розрахунку складених конструкцій .

Говорячи про ефективність реалізації МРГЕ , слід відзначити ще одну цікаву можливість . За аналогією з МСЕ рекомендується визначити набір типових суперелементов простої форми , з яких потім , як з цеглинок , можна буде « збирати » реальну конструкцію. Наприклад , можна побудувати суперелементов окружності , циліндра , конуса , куба , прямокутної пластини і т. д. Різноманітність можливих форм і числа вузлів набагато ширше , ніж для звичайних КЕ.