11.7 . Метод граничних елементів

В даний час все більшу популярність завойовує метод граничних елементів ( МГЕ ) [ 13 , 18 , 19 , 62 , 122 ] . У ньому вдається виключити інтеграли за обсягом тіла і знизити розмірність задачі на одиницю.

Рівняння МГЕ можуть бути отримані з виведеного в роз. 7 зворотного інтегрального урівняння теорії пружності, зокрема, зі співвідношення (7.22). Нехай переміщення і напруження визначаються з рішення допоміжної крайової задачі про одиничну зосереджену силу , прикладеної в деякій точці тіла в одному з координатних напрямків , наприклад :

(11.32)

де М (х, у , z) - точка тіла. Функція ( , М) є тривимірною функцією Дірака ( 13 , 18 ] , що має властивості ( , М)= при , ( , М)=0 при ,

(11.33)

У випадку (11.32) зосереджена сила прикладена в точці в напрямку осі у.

З аналітичного рішення диференціальних рівнянь рівноваги (7.11 ) - ( 7.13 ) вдається отримати так звані фундаментальні рішення, які відповідають одиничним зосередженим об'ємним силам . Наприклад, для тривимірного ізотропного тіла з модулем зсуву G і коефіцієнтом Пуассона таке рішення було отримано Кельвіном [13, 18, 19, 62, 122] :

, (11.34)

Де х₁=х; х₂=у; х₃=z; при i=j, при

- віддаль між точками і M:

(11.35)

Рішення ( 11.34 ) визначає переміщення u_ij уздовж осі x_i в будь-якій точці тіла М при дії одиничної зосередженої сили в точці уздовж осі x_i. Це рішення є сингулярним , тобто прямує до безкінечності, коли точки і М збігаються. За відомим формулами [18,62] можна знайти деформації, напруження і поверхневі зусилля , відповідні фундаментальному рішенню . Наприклад , для зусиль маємо

, (11,36)

де n_i - напрямні косинуси зовнішньої нормалі до поверхні S.

Фундаментальні рішення для двовимірних та інших завдань наведені в [13, 18, 19, 62, 122].

Для побудови дискретної схеми МГЕ розглянемо супер-елемент з m граничними вузлами. Будемо вважати, що точка прикладання одиничної зосередженої сили послідовно розглядається в кожному з граничних вузлів. Візьмемо, наприклад, вузол k і сформулюємо наступну матрицю об'ємних сил, яка задає послідовність одиничних сил в точці М_k{x_k, y_k, z_k} які діють уздовж напрямків х, у і z: (11.37)

Використовуючи фундаментальні рішення ( 11.34 ) , ( 11.36 ), легко побудувати матриці - функції:

які визначають переміщення і зусилля в будь-якій точці тіла , відповідні заданим об'ємним силам . Наприклад, є переміщенням в точці (х, у, z) уздовж i-ї осі, що виникає при дії одиничної зосередженої сили в к-му вузлі уздовж j-ї осі.

Після підстановки (11.37), (11.38) в (7.22) і використання властивостей функції Дірака (11.33) будемо мати інтегральне співвідношення:

, (11.39)

де - переміщення k-го вузла; Е₃ - одинична матриця третього порядку; - відоме число, яке залежить від виду фундаментального рішення.

Розіб'ємо поверхню S суперелементу на безліч граничних елементів простої форми і розглянемо один з них. Наступний крок полягає в побудові апроксимацій для шуканих векторів і . Тут можливі два варіанти. У першому з них ці апроксимації вважаються незалежними одна від одногї, тобто

(11.40)

де N {3x3l} - матриця базисних функцій граничного елемента з l вузлами; {u}, {p} - вузлові значення переміщень і поверхневих зусиль. Підстановка цих апроксимацій в (11.39) і обчислення по квадратурних формулах наступних матриць:

(11.41)

призводить до дискретного рівняння:

, (11.42)

яке, будучи розглянутим для всіх вузлів супер-елемента, призведе до системи 3 m алгебраїчних рівнянь:

H{U) - G{P} ={F) (11.43)

щодо векторів вузлових переміщень і зусиль. Для розв'язання цієї системи її потрібно доповнити записаними щодо вузлових змінних граничними умовами в переміщеннях і зусиллях. Для цього зручно розділити вектори {U} і {Р} на частини , які відповідають вузлам кордонів S1 і S2 , і врахувати граничні умови:

. (11.44)

В результаті отримаємо Зm рівнянь щодо такої ж кількості невідомих {U₂} і {Р₁}. Очевидним шляхом з (11.44 ) вдається отримати систему лінійних рівнянь меншого порядку щодо {U₂}.

Другий варіант полягає у використанні взаємозалежних апроксимацій для і з урахуванням (7.18):

= N{u}, = CD(RN){u}= L{u}. (11.45)

При цьому розв’язна система лінійних рівнянь

K{U₂}={Q) (11.46)

може бути безпосередньо отримана після об'єднання співвідношень

(11.47)

для всіх граничних елементів та врахування кінематичних граничних умов.

З рішення отриманої системи можна знайти шукані граничні переміщення. Переміщення у внутрішніх точках супер-елемента можуть бути знайдені з інтегральних співвідношень, аналогічних виразу (11.39), в якому величини з індексом « k » слід розглядати у даній внутрішній точці.