3. Гібридні схеми

В методі гібридних КЕ врахування термопружних факторів також приводить до появи додаткових вузлових навантажен. Наприклад, якщо рахувати незалежними переміщенння і напруження і використовують варіаційні рівняння Рейсснера, то зі співвідношень (7.26), (7.28) будем мати:

(12.11) (12.12)

Де W, V - матриці виду (9.8).

5. Рівноважні елементи термопружних тіл

Врахування початкових факторів і термопружних деформацій у вигляді (12.4) приводять до очевидної модифікації диференціальних рівнянь рівноваги в переміщеннях (11.1):

(12.14)

Для того щоб виключити з варіаційних рівнянь (11.2) обємні інтеграли, потрібно побудувати вхідні у рівноважну аппромаксимацію (11.2) часткові рішення. Для чисто термопружних задач для ізотропних тіл можуть пригодитись відомі представлення Папковича-Гудьєра для часткового вирішення , відповідного обємній силі - [56, 86] :

(12.15)

де Ф – функція, задовільняюча рівняння Пуассона:

(12.16)

- коефіцієнт Пуасона. В свою чергу для Ф можна записати

(12.17)

Де Ф₀ – будьяка гармонійна функція; Ф₁ – часткове рішення рівняння (12.16), найти яке звичайно нескладно.

Якщо часткові рішення рівняння рівноваги (12.14) побудувати не вдається, то додаткові вузли навантаження суперелемента будуть вираховуватись інтегруванням по його обєму. Отримання конкретних формул не складає особливої тяжкості.

Глава 13. Власні та вимушені коливання пружних тіл

Задачі про власні чи вільні коливання пружних тіл даних розмірів належать до типу які називаються краєві задачі на власні значення. Методика їх рішення досить складна і, як правило, потребує застосування чисельних підходів, в тому числі МКЕ. В цілому цей тип задач вивчений достатньо ретельно, хоча і існують ряд невирішених питань.

Більш простими є задачі з вимушеними коливаннями пружних тіл. Для їх вирішення необхідні нескладні модифікації основного алгоритму рішення статичної задачі теорії пружності.

Застосування МКЕ для розрахунку коливання пружних тіл описується у книгах [4, 10, 26, 27, 46, 71, 72, 78, 83, 94, 103, 111].

1. Гармонічні коливання пружних тіл

Поміж статичнх зусиль деформовані тіла можуть піддаватись дії різного роду змінних під час динамічних навантажень. Серед динамічних процесів особливо слід виділити коливальні гармонічні процеси, коли обємні поверхневі зусилля і утворенні ними переміщення, деформації і пружності змінються в часі періодично:

(13.1)

де - амплітуда відповідна величині в точці тіла з координатою x; - зсув фази; - кругова частота коливання; - частота в Герцах, визначається як число періодчних переміщень в одиницю часу.

Після підстановки останніх співвідношень і рівнянь рівноваги для динамічних процесів

(13.2)

можуть бути записані відносно амплітуди:

(13.3)

де - щільність матеріалу.

Розраховувальна система лінійних рівнянь методу переміщення

(13.4)

легко отримати зі співвідношення (7.28), якщо останній множник у (13.3) формально рахувати додатковими масовими силами, Матриця масс

(13.5)

має такий самий порядок і структуру, як і матриця жорсткості К.