11. 1. Термо-, магніто-, електропружне початкове напруження і деформації

Експерементально дослідженно, що виникаючі в тілі теплові деформації пропорційні перепаду температур між нагрітим і вихідним станом тіла, тобто

(12.1)

Де темпратурні деформації; - коефіцієнти теплового розширення, які є постійними при невеликих перепадах температур. Для більшості матеріалів лежать в межах

Для ортотропних тіл з перпендикулярним направленням головних осей анізотропії зазвичай лежать , рахуючи, що нагрівання викликає тільки розширення тіла, при якому не відбувається дефорації зсуву. Для ізотропних тіл коефіцієнти теплового розширення однакові для всіх напрямків . Замітим, що якщо коефіцієнти теплового розширення відомі з головних осях анізотропії матеріалу, то з формули

(12.2)

Наступний з (5,5), можна отримати коефіцієнт теплового розширення в довільно-орієнтованій системі координат.

Загальний закон Гука (5,24), що звязує напруження з деформацією, за умови теплових взаємодій модифікується наступним чином:

(12.3)

Де є деформації, що виникають силовими факторами, а - температурне напруження. Відмітим, що при високих температурах пружні константи матеріала можуть залежати від температури; ці залежності визначаються експерементально і можуть бути врахованні у матриці пружних констант D.

Поставимо завдання ширше: нехай у тілі до силової і теплової взаємодії уже існують початквоі самоврівноваженні напруженя і початкова деформація , виникші, наприклад, координат, попереднім етапом навантаження або ті що мають залишковий характер. Наступний етап навантаження викликає зміни пружно-деформованого стану тіла, при цьому закон звязку пружності з деформацією визначається наступним чином [22, 46, 56];

(12.4)

Загальне формулювання задачі з початковою пружністю і деформацією дозволяє легко врахувати вплив полів різної природи на деформацію тіл. Наприклад, для пєзоелектричних матеріалів (кварц, турмалін, сегнетова сіль та інші) деформації можуть бути викликані електричним полем; в такому випадку закон Гука записується у такому вигляді [80]:

(12.5)

Де - матриця пєзоелектричних сталих; - вектор напруженості електричного поля. Для задач магнітопружності справедливі наступні співвідношення:

(12.6)

де - вектор напруженості Максвелла. Більш детально теорія магнітопружності викладена у книзі [80].

Два останніх співвідношення перетворюються до вираження (12.4) явним образом.

2. Кінцевоелементниі рівняння рівноваги у вигляді метода переміщення

Розраховувані рівняння МКЕ можуть бути безпосередньо отримані із напів дискретних рівнянь (7.28), які, як вказувалось, справедливі для будтяких спів відношень між напруженнями і деформаціями. Аппроксимуючи деформацію */ по формулі (8.26), для пружності (12.4) будем мати:

(12.7)

Після підстановки останнього співвідношення у (7.28) отримаємо кінцевоелементне рівняння рівноваги у вигляді

(12.8)

Де K є матриця жорсткості КЕ видy (8.30);

(12.9)

(12.10)

Таким чином, врахування теплових деформацій і початкови напружень і деформаціїї призводить до появи в розрахунковій системі рівняння МКЕ додаткових вузлових навантажень. При цьому глобальна матриця твердості залишається незмінною.