11.10 . Рівноважні елементи балок

Розглянемо балку , геометрія якої описана в § 6.3 . При складному навантаженні балка розтягується , скручується і згинається в двох перпендикулярних площинах. Легко перевірити , що однорідні диференціальні рівняння рівноваги (6.32) будуть виконуватися точно , якщо поздовжні переміщення та кути закручування вважати лінійними:

(11.49)

а прогини і повороти нормалі вибрати у вигляді

(11.50)

(11.51)

Рівноважні апроксимації (11.49)-(11.51) містять 12 незалежних коефіцієнтів, від яких за методикою § 11.3 слід перейти до вузлових невідомим у двох вузлах балки х=0 і х=1. Далі слід скористатися граничним варіаційним рівнянням (11.12 ) без урахування S₁ підставивши в нього аппроксbмації (11.20), (11.21). Якщо врахувати, що для балки поверхня S₂ відповідає поперечним розрізам х=0 і х=1, то легко показати, що рівняння (11.12) безпосередньо призводить до граничної умови (6.33) у кожному з вузлів. Підставляючи в нього відомі апроксимації для зусиль і моментів, отримаємо систему лінійних рівнянь 12-го порядку, яку зручно записати у вигляді:

(11.52)

де К_а(2x2), K_b(4x4), К_с(4x4), К_d(2x2) є симетричні блоки матриці жорсткості; - вузлові переміщення; - вузлові сили. Ці величини визначаються так:

(11.53)

(11.54)

(11.55)

причому К_с виходить з K_b заміною J_z і R_z на J_y i R_y відповідно.

Таким чином, для рівноважного КЕ нескладно отримати аналітичні вирази для матриці жорсткості. На відміну від балочних КЕ ВЕАМ2 і НВЕАМ2 з гол.8, 9, в даному рівноважному КЕ ЕВЕАМ2 точно задовольняються всі рівняння теорії пружності всередині КЕ. Тому цей елемент точно відтворює відомі тестові завдання при розтягуванні, крученні і вигині балок.

Облік деформацій поперечного зсуву дозволяє застосовувати КЕ ЕВЕАМ2 для розрахунку балок з податливих на зсув композиційних матеріалів. Зауважимо, що якщо покласти модулі поперечного зсуву і нескінченними, як того вимагає гіпотеза Кірхгофа, то отримаємо описаний в книзі [83] рівноважний КЕ тонкої балки ТВЕАМ2, матриця жорсткості якого виходить з (11.55) після врахування R_z=R_y=0.

11.11 . Рівноважні елементи скручуваних стрижнів

Згідно § 6.2 задача скручування ізотропного стержня при зводиться до вирішення диференціального рівняння відноснофункції депланації:

(11.56)

з однорідною граничною умовою на контурі С:

на С (11.57)

Рівноважну апроксимацію запишемо у вигляді суми приватного рівняння і гармонійного полінома, який легко може бути побудований методом невизначених коефіцієнтів:

(11.58)

де Х (1хm) - вектор-рядок, що містить гармонійні функції при коефіцієнтах a_i, які об'єднані у вектор {А}.

Наступне з (11.12) варіаційне рівняння

(11.59)

містить функцію

(11.60)

варіація якій є

(11.61)

Тоді з (11.59) отримуємо розвязуюче рівняння:

K{A}={Q} (11.62)

із симетричною матрицею жорсткості

(11.63)

і вектором навантажень

(11.64)

При необхідності в (11.59), (11.62) можна перейти від коефіцієнтів а_і до вузлових значень функції .

Для обчислення інтегралів (11.63), (11.64) контур С разбивається на безліч одновимірних граничних елементів, в межах кожного з яких інтегрування проводиться відомим способом.