6.1.2. Расчет сетевой модели

Целью построения сетевой модели является ее расчет. В результате расчета получаем количественные характеристики событий и работ.

Для выполнения любой работы требуется некоторое время и ресурсы. Время, необходимое для выполнения работы (i,j) будем называть продолжительностью работы и обозначать t_i,j.

Любая последовательность работ, в которой конечное событие предыдущей работы является начальным событием последующей, называется путем и обозначается L с перечислением всех событий, входящих в данный путь L(i₁-i₂-…-i_n). На сетевом графике следует различать: полный путь; путь, предшествующий событию; путь, следующий за событием; путь между событиями.

Полный путь - это последовательность работ, соединяющих исходное и завершающее событие.

Путь, предшествующий событию - это последовательность работ, соединяющих исходное и рассматриваемое события.

Путь, следующий за событием - это последовательность работ, соединяющих рассматриваемое и завершающее события.

Под длиной пути будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих этот путь.

Среди полных путей особое значение придается критическому пути.

Критический путь – это наиболее протяженный по времени полный путь; его продолжительность определяет минимальное время выполнения всего проекта. Оно называется критическим сроком и обозначается t_кр.

Критических путей на сетевом графике может быть несколько. Работы и события, лежащие на критическом пути, называются критическими, а остальные работы и события – некритическими.

Главная особенность критических работ: если выполнение любой из них будет задержано, то это замедлит время реализации всего проекта. Некритические работы допускают некоторое запаздывание их выполнения без нарушения критического срока.

При анализе сетевых графиков прежде всего вычисляют его временные параметры. К основным временным параметрам относятся:

• продолжительность критического пути (критический срок);

• сроки свершения событий и резервы событий;

• сроки выполнения отдельных работ и их резервы времени.

Как уже отмечалось, в событие может входить и выходить из него несколько работ. Под свершением события будем понимать момент, к которому заканчиваются все входящие в него работы и может быть начата любая выходящая работа. Событие может иметь некоторый интервал свободы свершения (резерв времени).

Ранний срок t_p(j) свершения события j – это самый ранний момент, к которому завершаются все работы, предшествующие этому событию:

= 0,

,

где – множество работ, входящих в j-е событие; – ранний срок свершения начального события работы (i, j); t_ij – продолжительность работы (i, j). Тогда .

Поздний срок t_п(i) свершения события i – такой предельный момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием без нарушения сроков реализации проекта в целом. Для завершающего события S предполагается, что

.

Тогда

,

где – множество работ, выходящих из i-го события; – поздний срок свершения конечного события работы (i, j).

Резерв времени R(i) события i показывает, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события i без нарушения срока наступления завершающего события:

.

Безусловно, что у критических событий ранние и поздние сроки событий совпадают, т.е. резерв времени у них равен нулю.

Зная сроки свершения событий, можно найти ранние и поздние сроки начала и окончания работ.

Ранний срок начала работы (i, j) –

.

Ранний срок окончания работы (i, j) –

.

Поздний срок окончания работы (i, j) –

.

Поздний срок начала работы (i, j) –

.

Для работ в отличие от событий существует два основных вида резервов времени: полный и свободный.

Полный резерв времени R_п(i, j) работы (i, j) – это максимальный запас времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая критический срок:

.

Свободный резерв времени R_с(i, j) работы (i, j) – это максимальный запас времени, на которое можно отсрочить или (если она началась в свой ранний срок) увеличить ее продолжительность при условии, что не нарушаются ранние сроки начала всех последующих работ:

.

Критические работы, как и критические события, резервов времени не имеют.

Существует множество способов и методов расчета временных параметров сети. При небольших количествах работ расчеты можно производить вручную, однако для реальных расчетов используются компьютеры и соответствующее программное обеспечение.

Для упрощения расчетов воспользуемся четырехсекторной схемой. Кружок, изображающий событие, разобьем на четыре сектора, в каждом из которых запишем необходимую информацию.

i

R_i

Рис. 6.1.9. Схема упрощения расчетов сетевой модели.

Пример 6.1.2. Провести расчет сетевой модели на данных примера 6.1.1.

Решение. Расчеты выполним непосредственно на сетевом графике, воспользовавшись четырехсекторной схемой.

4

30

30

12

8

0

1

6

2

6

7

8

0

0

6

6

42

42

50

50

12

0

0

0

0

12

10

3

5

4

18

18

30

32

0

2

Рис 6.1.10. Расчеты сетевой модели на данных примера 6.1.1.

При вычислении ранних сроков свершения событий перемещаются по сетевому графику от исходного события 1 вправо, в порядке возрастания номеров событий. Полагаем t_р(1) = 0 и записываем 0 в левый сектор кружка 1. Очевидно, что событие 2 свершится спустя 6 ед. времени после свершения события 1,т. к. t_р(2) = t_р(1) + t₁₂=0+6 =6. Аналогично находим t_р(3) = t_р(2) + t₂₃ = 6+12 = 18 и записываем в левый сектор события 3. Т. к. в событие (4) входят две работы , то t_р(4) = max {t_р(2) + t₂₄; t_р(3) + t₃₄} = max {6 + 8; 18 + 12} = 30. Аналогично находим t_р(5) = max {t_р(3) + t₃₅; t_р(4) + t₄₅} = max {18 + 4; 30 + 0} = 30 и t_р(6) = max {t_р(4) + t₄₆; t_р(5) + t₅₆} = max {30 + 12; 30 + 10} = 42. В конце вычислений находим t_р(7) = t_р(6) + t₆₇ =42 + 8=50, т. е. t_кр = 50. Итак, весь комплекс работ проекта может быть выполнен не менее чем за 50 недель.

При вычислении поздних сроков свершения событий перемещаемся по сетевому графику от завершающего события влево, в порядке убывания номеров событий. Полагаем t_п(7) = t_кр = 50 и записываем в правый сектор кружка 7. Рассматриваем событие 6, из которого выходит только одна работа (6,7), для него получаем t_п(6) = t_п(7) - t₆₇ = 50 – 8 = 42 и записываем этот результат в правый сектор события 6. Аналогично получаем t_п(5) = t_п(6) - t₅₆ = 42 – 12 = 30. Из события 4 выходит две работы (4,5) и (4,6), поэтому t_п(4) = min {t_п(5) – t₄₅; t_п(6) - t₄₆} = min {32 - 0; 42 - 12} = 30. Полученное значение записываем в правый сектор кружка 4. Аналогично определяются поздние сроки свершения всех остальных событий сетевого графика. В конце расчетов для события 1 имеем t_п(1) = 0.

Далее вычисляем резервы времени событий, для этого в соответствии с формулами расчета достаточно из чисел записанных в правых секторах, вычесть числа, записанные в левых секторах. Полученные значения записываются в нижние сектора.

После проведения вычислений можно выделить критический путь, он проходит через критические события. Резерв времени у критических событий равен нулю, в нашем примере это событие 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы выделить критический путь, соединяем последовательно в порядке возрастания номеров события с нулевыми резервами. Получаем L_кр = (1-2-3-4-6-7).

Все остальные временные параметры (сроки начала и окончания работ, резервы времени работ) легко определяются по найденным значениям t_p и t_п на основе вышеприведенных формул. Например, раннее начало работы (3,5) t_р.н.(3,5) = t_р(3) =18, позднее окончание работы (3,5) t_п,о. (3,5) = t_п (5) = 32. Для определения полного резерва времени работы (3,5) надо из числа в правом секторе конечного события 5 вычесть число, стоящее в левом секторе события 3, и вычесть продолжительность работы (3,5), т.е. R_п(3,5) = t_п (5) - t_р(3) - t₃₅ = 32 – 18 – 4 = 10.

Рассмотренные параметры являются основой для планирования работ во времени и управления работами в зависимости от сложившихся обстоятельств.