6.2.2. Расчет основных показателей теории массового обслуживания

Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО. Состояние СМО определяется числом требований, находящихся в системе.

Математическая модель СМО записывается в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова представляют собой систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме, т.е. предельные или финальные вероятности состояний. Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

При анализе СМО удобно пользоваться геометрической схемой, так называемым графом состояний. Размеченным графом состояний системы (в которой протекает случайный процесс) называется схема, в которой состояния системы обозначаются квадратами (кругами), внутри которых помещаются обозначения состояния, а стрелками указаны возможные непосредственные переходы из состояния в состояние, при этом у каждой стрелки указывается плотность вероятности перехода.

Пример 6.2.1. Рассмотрим СМО с одним каналом и одним местом в очереди, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ. Построим систему дифференциальных уравнений Колмогорова и рассчитаем основные показатели эффективности функционирования данной системы.







S₀

S₁

S₂



Рис. 6.2.2. Граф состояний системы с одним обслуживающим устройством и одним местом в очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе.

S₀ – канал свободен

S₁- канал занят и очереди нет, то есть в СМО находится одна заявка

S₂ – канал занят и в очереди одна заявка

Таким образом, СМО может находится в одном из трех состояний, граф которых представлен на рисунке 6.2.2.

Переход системы из состояния S₀ в состояние S₁, а также из состояния S₁ в состояние S₂ происходит под воздействием входящего потока заявок, а из состояния S₂ в состояние S₁ и из состояния S₁ в состояние S₀ систему переводит поток обслуживания. Плотности вероятности перехода из состояния S₀ в S₁ и из S₁ в S₂ и обратно равны соответственно λ и μ.

Найдем все вероятности состояний для данной системы. Пусть P_k(t) –вероятность того, что в момент времени t система находилась в состоянии k (k=1,2,3). Рассмотрим произвольный момент времени t и дадим ему приращение Δt. Из теории вероятностей известно, что для достаточно малого промежутка времени Δt вероятность перехода системы из некоторого i-го состояния в некоторое j-е состояние пропорциональна длине этого промежутка.

где - интенсивность перехода.

Используя теорему сложения вероятностей запишем

Учитывая то, что

, ,

, ,

преобразуем наши выражения следующим образом:

Устремив Δt к нулю, слева получим производные соответствующих функций. Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений, которая носит имя Колмогорова:

Данная система имеет решение с учетом нормировочного условия .

Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме (при ) , т.е. финальные вероятности состояний, которые могут быть получены путем решения системы при равных нулю производных, поскольку зависимость от времени пропадает.

Итак, предельные вероятности состояний данной системы имеют вид:

Введем в рассмотрение параметр , который называется интенсивностью нагрузки и выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда вероятности состояний примут вид.

Найдем предельные характеристики эффективности функционирования данной СМО:

1. Вероятность отказа. Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал занят и в очереди находится заявка, т.е. когда система находится в состоянии S₂.

2) Относительная пропускная способность СМО Q:

Относительная пропускная способность показывает среднюю долю принятых в систему заявок среди всех поступивших и равна вероятности того, что поступившая заявка будет принята в систему.

3. Абсолютная пропускная способность СМО А:

Абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, которое может обслужит СМО за единицу времени.

Многоканальная СМО с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Пусть в n-канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью . Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t_обс.

Если требование поступает в систему в момент, когда все n каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему не обслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе.

S₀ - система свободна

S₁ – занят один канал

…

S_n – заняты все каналы

Переходы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью λ. Переход из состояния S_k в состояние S_k-1 происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний k каналами; интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков.