4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Знаходження вибіркового рівняння прямої лінії регресії

1. Теоретичні вказівки

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії має вигляд:

,

де вибірковий коефіцієнт кореляції визначається формулою:

,

де х, у – варіанти ознак Х і У, n_xy - частота спільної появи варіант У=у_і, Х=х_і;

n – об’єм вибірки; - середні квадратичні відхилення; - вибіркові середні значення.

Нехай необхідно обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за даними кореляційної таблиці. Можна значно спростити обчислення, якщо перейти до умовних варіант (при чому величина не зміниться)

.

В цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою

.

2. Питання до теми

1. Назвати формули для обчислення основних числових характеристик ознак Х і Y для двовимірного статистичного розподілу вибірки.

2. Емпіричний кореляційний момент K^*_xy та його властивості.

3. Вибірковий коефіцієнт кореляції r_B та його властивості.

4. Що називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини?

5. Що називають відхиленням випадкової величини?

6. Що називають дисперсією випадкової величини?

7. Що характеризує дисперсія випадкової величини?

8. Що називається математичним сподіванням випадкової величини?

9. Що характеризує математичне сподівання випадкової величини?

3. Розв’язання завдань

Приклад 1. Обчислити за даними кореляційної таблиці:

Y	X
	10	20	30	40	50	60	ny
15	5	7	-	-	-	-	12
25	-	20	23	-	-	-	43
35	-	-	30	47	2	-	79
45	-	-	10	11	20	6	47
55	-	-	-	9	7	3	19
nx	5	27	63	67	29	9	n=200

Розв’язування. Перейдемо до умовних варіант: (в якості хибного нуля С₁ взята варіанта х = 40, яка знаходиться в середині варіаційного ряду: крок h₁ дорівнює різниці між двома сусідніми варіантами: 20 – 10 = 10) та (в якості хибного нуля С₂ взята варіанта у = 40, яка знаходиться в середині варіаційного ряду: крок h₂ дорівнює різниці між двома сусідніми варіантами: 25 – 15 = 10).

Складемо кореляційну таблицю в умовних варіантах. Це виконується таким чином: в першому стовпчику замість хибного нуля С₂ (варіанти 35) записують нуль; над нулем послідовно записують - 1, - 2, під нулем пишуть 1, 2. В першій строчці замість хибного нуля С₁ (варіанти 40) записують 0, зліва від нуля послідовно записують -1, -2, -3; справа від нуля пишуть 1, 2. Всі інші дані записують з першої кореляційної таблиці.

Отримаємо кореляційну таблицю в умовних варіантах:

v	u						nv
	-3	-2	-1	0	1	2
-2	5	7	-	-	-	-	12
-1	-	20	23	-	-	-	43
0	-	-	30	47	2	-	79
1	-	-	10	11	20	6	47
2	-	-	-	9	7	3	19
nu	5	27	63	67	29	9	n = 200

Далі для обчислення суми складемо розрахункову таблицю.

1. В кожній клітинці, в якій частота n_uv 0, записують в правому верхньому куті добуток частоти n_uv на відповідну варіанту u. Наприклад, в правих верхніх кутах клітинок першого рядка записані добутки: .

2. Додаємо всі числа, які знаходяться в правих верхніх кутах клітинок одного рядка та суму записують в клітинку цього рядка стовпця U. Наприклад, для першого рядка U = - 15 +( - 14) = - 29.

3. Помножимо варіанту v на U та результат запишемо в останню клітинку цього рядка, тобто в клітинку стовпця vU. Наприклад, в першому рядку таблиці v = -2,

U = -29, звідси випливає, що vU = (- 2) *(-29) = 58.

4. Додамо всі числа стовпця vU, отримаємо суму , яка дорівнює сумі . Наприклад, = 169, отже, = 169.

v	u						U=	vU
	-3	-2	-1	0	1	2
-2	-15 5 -10	-14 7 -14	-	-	-	-	-29	58
-1	-	-40 20 -20	-23 23 -23	-	-	-	-63	63
0	-	-	-30 30 0	0 47 0	2 2 0	-	-23	0
1	-	-	-10 10 10	0 11 11	20 20 20	12 6 6	22	22
2	-	-	-	0 9 18	7 7 14	6 3 6	13	26
V=	-10	-34	-13	29	34	12		169
uV	30	68	13	0	34	24	169

Для контролю аналогічні обчислення виконують за стовбцями: добутки n_uvv записують в лівий нижній кут клітинки, яка має частоту n_uv 0, всі числа, які розміщуються в лівих нижніх кутах клітинок одного стовпця, додають та їх суму записують в рядок V; а потім помножають кожну варіанту u на V і результат записують в клітинку останнього рядка.

Додаємо всі числа останнього рядка, отримаємо суму , яка також дорівнює сумі = 169.

Приклад 2. Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції за даними попередньої задачі.

Розв’язування. Величини , , , можна обчислити методом добутків, однако, проте числа , - малі, тому обчислимо , за означенням середньої, а

, - використовуючи формули

,

Знайдемо ,

=

=

Обчислимо величини та :

=

=

Аналогічно знаходимо =1,209

=

Приклад 3. Знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії за даними попередніх задач.

Розв’язування. Вибіркове рівняння прямої лінії регресії має вигляд:

(1)

Потрібно знайти , , , :

=

=

= , =

Підставимо обчислені величини в рівняння (1), отримаємо:

, або