4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Розв’язування задач з використанням формули Бернуллі.

1. Теоретичні вказівки

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями р і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю р відбувається, а з імовірністю q - не відбувається, тобто р+ q=1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі – 2ⁿ елементарних подій.

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз подається у вигляді:

(1)

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від m_і раз до m_j раз, обчислюється так:

(2)

Оскільки

дістанемо

(3)

(4)

2. Питання до теми

1. Які експерименти називають експериментами за схемою Бернуллі?

2. За якої умови формула Бернуллі застосовується для обчислення ймовірностей?

3. Що називають найімовірнішим числом (модою)?

4. Довести, що np-q m₀ np+q.

3. Розв’язання завдань

Приклад 1. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.

Обчислити ймовірність того, що з п’яти електролампочок, увімкнених у електромережу за схемою, наведеною на рис., не перегорять: 1) дві; 2) не більш як дві; 3) не менш як дві.

Розв’язання.

За умовою задачі маємо: р = 0,9; q =0,1; n =5; m =2. Згідно з (1), (3), (4) дістанемо:

1) Р₅(2)=

2)

,

3)

Приклад 2. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є сталою величиною і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п’яти верстатів; 3) принаймні один.

Розв’язання. За умовою задачі маємо: р = 0,6; q =0,4; n =6; m =3, . Згідно з (1), (3), (4) дістанемо:

1)

2)

3)

4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Розв’язування задач з використанням формули Пуассона, теорем Лапласа

1. Теоретичні вказівки

Точність асимптотичних формул для великих значень n – числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням р до нуля. Тому при за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

,

яка називається формулою Пуассона.

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р (0<p<1), то для великих значень n ймовірність появи випадкової події від m_i до m_j раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

,

де

а Ф(х)= є функцією Лапласа, значення якої наведено в дод. 2

Локальна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р (0<p<1), то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

,

де називається функцією Гауса. Функція Гауса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де