4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Знаходження функції і щільності розподілу неперервної випадкової величини.

1. Теоретичні вказівки

Означення. Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом факторів вона набуває того чи іншого можливого значення з певною ймовірністю.

Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленою то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.

Співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.

2. Питання до теми

1. Дати означення випадкової величини.

2. Дати означення дискретної і неперервної випадкової величини.

3. Що називається законом розподілу випадкової величини?

4. Що називається функцією розподілу випадкової величини?

5. Довести, що при .

6. Чому дорівнює ?

7. Чому дорівнює Р ?

8. Дати означення щільності ймовірностей неперервної випадкової величини Х.

9. Назвати властивості F(x).

10. Назвати властивості f(x).

3. Розв’язання завдань

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

	-4	1	2	5	9
	0,1	0,1	0,5	р4	0,2

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х=х₄=5.

Розв’язання. Згідно з умовою нормування маємо:

Приклад 2. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

	2,5	3	4,5	5	5,5	6
	a	2a	a	3a	a	2a

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х.

Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) Х<3; 2) X 3; 3) X<5; 4) X 5; 4) 2.5 X<5.5; 4) X 5.5.

Розв’язання.

Згідно з умовою нормування маємо:

Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд:

	2,5	3	4,5	5	5,5	6
	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

Обчислимо ймовірності подій:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Означення. Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х<х, називають функцією розподілу ймовірностей:

Властивості F(x):

1.

2. F(x) є неспадною, а саме при .

Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки:

1. Імовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого значення Х=х , дорівнює приросту інтегральної функції F(x) на цьому проміжку:

2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулю:

Приклад 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

	-4	-1	2	6	9	13
	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

Побудувати F(x) та її графік.

Розв’язання. Згідно з властивостями F(x), дістанемо наведені далі співвідношення.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Компактно F(x) можна записати в такій формі:

Графік функції F(x) зображено на рисунку

Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

,

звідки

Геометрично на графіку щільності ймовірності

f(x)dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f(x).

Властивості f(x)

1. f(x) 0. Ця властивість випливає з означення щільності ймовірності як першої похідної від F(x) за умови, що F(x) є неспадною функцією.

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою

4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд:

Приклад 4. Закон розподілу неперервної випадкової величини Х такий:

Знайти f(x), Р(0<X<2).

Розв’язання.

Р(0<X<2)= F(2)- F(0)=

або Р(0<X<2)=

Приклад 5. За заданою щільністю ймовірностей маємо:

Знайти значення сталої а та функцію F(x).

Розв’язання. Значення сталої а визначаємо з умови нормування:

,

Тут

Отже, .

При знайденому значенню а щільність ймовірностей

Функція розподілу ймовірностей визначається так:

.

Отже,