4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Знаходження довірчих інтервалів для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому

1. Теоретичні вказівки

Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу. Побудуємо довірчий інтервал для , знаючи числове значення середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності , із заданою надійністю . Оскільки як точкова незміщена статистична оцінка для = М(х) має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками М( ) = = а, , то, скориставшись

, (1)

дістанемо

(2)

Випадкова величина - а має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками

М( - а) = М( ) – а = а – а = 0

D( - a) = D( ) =

Тому матиме нормований нормальний закон розподілу N(0;1).

Звідси рівність (2) можна записати, назначивши , так:

(3)

або

Згідно з формулою нормованого нормального закону

Для (3) вона набирає вигляду:

(4)

З рівності (4) знаходимо аргументи х, а саме:

Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює за таблицею.

Отже, довірчий інтервал дорівнюватиме:

.

Величина називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.

2. Питання до теми

1. Дати означення інтервальної статистичної оцінки для параметрів генеральної сукупності.

2. Що називають точністю і надійністю оцінки?

3. Що називають довірчим інтервалом?

4. Який закон розподілу ймовірностей має випадкова величина ?

5. Як побудувати довірчий інтервал із заданою надійністю при відомому ?

3. Розв’язання завдань

Приклад 1. Виміривши n=40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює = 15 см. Із надійністю = 0,99 побудувати довірчій інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює =0,09 см².

Розв’язання. З умови задачі маємо: n=40, = 15, = 0,99, =0,09 см² , . Величина х обчислюється з рівняння

(за таблицею функції Лапласа)

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

см

см

Таким чином, маємо:

Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) оцінюваний параметр перебуває у середині інтервалу [14.87;15.13].

Приклад 2. Маємо такі дані про розміри основних фондів (у млн. грн.) на 30-ти випадково вибраних підприємствах:

4,2; 2.4; 4.9; 6.7; 4.5; 2.7; 3.9; 2.1; 5.8; 4.0;

2.8; 7.8; 4.4; 6.6; 2.0; 6.2; 7.0; 8.1; 0.7; 6.8;

9.4; 7.6; 6.3; 8.8; 6.5; 1.4; 4.6; 2.0; 7.2; 9.1.

Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку

h =2 млн. грн.

З надійністю = 0,999 знайти довірчий інтервал для , якщо = 5 млн. грн.

Розв’язання. Інтервальний статистичний розподіл буде таким:

h =2 млн. грн.	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10
ni	9	7	10	4

Для визначення необхідно побудувати дискретний статистичний розподіл, що має такий вигляд:

х*і	3	5	7	9
ni	9	7	10	4

Тоді

млн. грн.

Для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю = 0,999 необхідно знайти х:

Обчислимо кінці інтервалу:

млн. грн

млн. грн

Отже, довірчий інтервал для буде .