4. Завдання для самостійного розв’язування.
За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.
Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.
Тема: Знаходження дисперсії та середнього квадратичного дискретної та неперервної випадкової величини.
1. Теоретичні вказівки
Для вимірювання розпосіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х=М(Х)).
Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,
М(Х-М(Х))=М(Х) – М(М(Х)) = М(Х) – М(Х) = 0
Отже, відхилення не може бути мірою розпосіювання випадкової величини.
Означення. Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини:
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
Для неперервної
Якщо Х , то
Властивості дисперсії.
1. Якщо С – стала величина, то D(С)= 0.
2. D(СХ) = С2 D(Х).
3. Якщо А і В – сталі величини, то
D(АХ+В)= А2 D(Х).
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
Для неперервної
Якщо Х , то
.
Слід пам’ятати, що дисперсія не може бути від’ємною величиною D(Х) 0.
Означення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:
2. Питання до теми
1. Що називають відхиленням випадкової величини?
2. Що називають дисперсією випадкової величини?
3. Що характеризує дисперсія випадкової величини?
4. Чому дорівнює D(C), де С – стала величина?
5. Чому дорівнює D(CХ), де С – стала величина?
6. Якщо А і В – сталі, то чому дорівнює D(АХ+В)?
7. Що називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини?
8. При яких значеннях сталої виконуються співвідношення: D(СХ)= D(Х);
D(СХ)<D(Х); D(СХ)> D(Х)?
3. Розв’язання завдань
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
хі |
-6 |
-4 |
2 |
4 |
6 |
8 |
рі |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Знайти
D(Х),
.
Розв’язання. Скориставшись означенням, маємо:
.
Приклад 2. Маємо чотири електролампочки, кожна з має дефект з імовірністю q=0.1 (p= 1-q =0.9 – імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають в електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити .
Розв’язання. Дискретна випадкова величина Х – число лампочок, які будуть випробувані – набуває таких значень:
х1 = 1; х2 = 2; х3 = 3; х4 = 4.
Обчислимо відповідні ймовірності:
Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а четверта – ні, або коли й четверта перегорить
У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:
хі |
1 |
2 |
3 |
4 |
рі |
0,9 |
0,09 |
0,009 |
0,001 |
Далі виконуємо такі обчислення
Приклад 2. Задано щільність ймовірностей:
Знайти D(Х), .
Розв’язання.
