Один из общих методов решения статически неопределимых задач.

Метод заключается в последовательном проведении двух процедур.

1. Система освобождения от лишних связей, взамен, которых прикладываются неизвестные силовые факторы, т. е. система превращается в статически определимую (формально).

2. Составляются уравнения, дополнительные к статическим, учитывающие действительные условия деформирования элементов системы.

В задаче, показанной на рис. 6.10, на первом этапе отсекаем одну из заделок стержня, например верхнюю, заменяем ее действие неизвестным усилием X. Полученная система (рис. 6.10, б) является статически определимой.

Второй этап решения состоит в учете уравнения

что выражает невозможность перемещения точки В в статически неопределимой системе (рис. 6.10, а).

Перемещение точки В равно

так как на первом участке постоянная деформация

а на втором участке

В последних равенствах — площади поперечного сечения и модули упругости участков. Из уравнения (25) получаем

где — коэффициенты податливости, мм/Н. Величины называются жесткостями сечений стержня на растяжение.

На первом участке действует растягивающее усилие

на втором участке — усилие

(31)

Усилие, растягивающее стержень, будем считать положительным, сжимающее — отрицательным (в соответствии с правилом знаком для нормальных напряжений). Распределение усилий и напряжений по длине стержня показано на рис. 6.10, в и 6.10, а.

Величина X по формуле (29) получилась положительной. Это означает, что предварительно выбранное направление неизвестного усилия X (рис. 6.10, б) оказалось правильным. Можно было, предварительно принять усилие X направленным в другую сторону. Легко проверить, что это не повлияло бы на решение.

Замечание. Рассмотренный метод является общим, применимым для любых статически неопределимых систем. Он называется методом сил, так как в качестве неизвестных принимаются усилия. Однако метод отнюдь не является единственным. Существуют и другие, достаточно общие методы, например метод перемещений, которые в некоторых случаях приводят к более простым расчетным схемам.

30.Моменты инерции площадей плоских фигур (сечений стержней): общие выражения, размерность, свойства, формулы для моментов инерции некоторых фигур относительно их центральных осей

Приведён спи́сок моме́нтов ине́рции^{[стиль!]} массивного твёрдого тела различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину². Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений^{[уточнить]}, который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Изображение	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m		[1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2. Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m		[1][2] или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2, тогда	При плотности ρ и той же геометрии:
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m		[1]	Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m			Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m			Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m		[1]	Сферу можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m		[1]	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.

31. Основные гипотезы сопротивления материалов.

Расчет реальных конструкций и их элементов является либо теоретически невозможным, либо практически неприемлемым по своей сложности. Поэтому в сопротивлении материалов применяется модель идеализированного деформируемого тела, включающая следующие допущения и упрощения:

1. Гипотеза сплошности и однородности: материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.

2. Гипотеза об изотропности материала: физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала: тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза (допущение) о малости деформаций: деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.

5. Допущение о справедливости закона Гука: перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.

6. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.

7. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях: поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.

8. Принцип Сен-Венана: в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.

Эти положения ограниченно применимы к решению конкретных задач. Например, для решения задач устойчивости утверждения 4-6 не справедливы, утверждение 3 справедливо не всегда.

31. Моменты инерции площадей плоских фигур относительно осей, параллельно смещенных относительно центральных осей.

Осевым моментом инерции площади называется сумма произведе- ний элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до выбран- ной оси , взятая по всей площади :

Полярным моментом инерции площади относительно выбранной точки ( полюса ) называется сумма произведений элементарных площа- док dA на квадраты их расстояний до полюса , взятая по всей площади :

Центробежным моментом инерции площади относительно коорди- натных осей называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до осей , взятая по всей площади