10. Оптимальная форма поперечного сечения для балок при плоском прямом изгибе ответа нет

11. 13. Величины допускаемых напряжений при изгибе и кручении деталей со сплошным сечением определяются по значениям напряжений as и т, , соответствующим определенным допускам пластической деформации и приведенным на стр. [1]Величина допускаемых напряжений при расчете плоских днищ берется меньшей, чем при расчете цилиндрических обечаек. [2]Величины допускаемых напряжений в зубьях шестерен коробки передач берутся различными в зависимости от того, сколько времени работают эти шестерни в обычных условиях эксплуатации автомобиля. Например, для шестерен постоянного зацепления, работающих чаще, запас прочности следует взять больше, чем для редко работающих шестерен первой передачи или заднего хода. Так, при расчете по приближенной формуле для первой передачи в грузовых автомобилях коэффициент запаса составляет 1 3 - 1 5 от предела упругости. [3]Величина допускаемого напряжения определяется по формуле о Доп г) о - оп, Мн / м2, где т ] - поправочный коэффициент, учитывающий конструктивные и эксплуатационные особенности детали. [4]Величина допускаемого напряжения должна устанавливаться в каждом конкретном случае заводом-изготовителем по согласованию с компетентной организацией. [5]Величина допускаемых напряжений на срез [ т ] зависит от свойств материала, характера нагрузки и типа элементов конструкции. [6]

12. 

Дифференциальные уравнения равновесия. Определение перемещений[

Основными перемещениями, возникающими при изгибе, являются прогибы   в направлении оси  . Необходимо связать их с изгибающим моментом в сечении. Запишем точное соотношение, связывающее прогибы и кривизну изогнутой оси:

Так как прогибы и углы поворота предполагаются малыми, то величина

является малой. Следовательно,

Значит,

Запишем уравнение равновесия сечения в направлении оси  :

Запишем уравнение равновесия моментов относительно оси  :

Величина   имеет 2-й порядок малости и может быть отброшена. Следовательно,

Таким образом, имеется 3 дифференциальных уравнения. К ним добавляется уравнение для перемещений:

В векторно-матричной форме система записывается следующим образом:

где

Вектор состояния системы:

Вектор внешней нагрузки:

Это дифференциальное уравнение может быть использовано для расчета многоопорных балок с переменным по длине моментом инерции сечения и сложным образом распределенными нагрузками. Для расчета простых балок применяются упрощенные методы. В сопротивлении материалов при расчете статически определимых балок изгибающий момент находится методом сечений. Уравнение

интегрируется дважды:

Константы  ,   находятся из граничных условий, наложенных на балку. Так, для консольной балки:

Консольная балка, нагруженная силой на конце

Граничные условия:

Таким образом,

15.  Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

(1)

где  —допускаемое напряжение. Напряжение   в условии (1) подставляется по модулю, так как знак   в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где   и   —напряжения растяжения и сжатия, а   и   — ответствующие им допускаемые напряжения.

   В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

   Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка (в нашем случае ее представляет N_z), сечение стержня F и его материал  заданы.

Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

где   — предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции (напомним, что, например, для стержня из пластичного материала это—предел текучести   или условный предел текучести  ).

   Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по Заданной нагрузке (N_z) определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданного материала (  дано). Минимальное значение F получим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (F и   даны) при выполнении условия прочности.

 Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна (рис. 2.1).

                      Рис.2.1

 

Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось  направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z ( ) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.2, б), приходим к следующему уравнению:

,

откуда следует, что

.

Следовательно, продольная сила в сечении численно равна сумме проекций на ось стержня всех сил, расположенных по одну сторону сечения

                                                                                                                  (2.1)

                                                                Рис. 2.2

 

Для наглядного представления о характере распределения продольных сил по длине стержня строится эпюра продольных сил  . Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например,

Рассмотрим несколько примеров определения внутренних сил.

Пример 1.

Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный силами 2Р и 3Р вдоль продольной оси стержня, показанный на рис.2.3. Определить величину внутренних сил.

16. Напомним, что жёсткость – это способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без значительных упругих деформаций – удлинений стержней, прогибов балок, углов закручивания валов и т. п., которые могут нарушить их нормальную работу. После определения линейных и угловых перемещений делается проверка на жёсткость элементов конструкций или подбираются их сечения из условий жёсткости вида

,  ,  ,

,  ,  .

Допускаемые значения линейных и угловых перемещений  ,  ,  ,  ,  ,   регламентируются нормами проектирования, устанавливаемыми из условий эксплуатации или опытных данных. Например, в строительстве наибольший прогиб (стрела прогиба)   ( ) обычно составляет

,

где   – длина пролёта балки.

          Под прочностью понимается способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без разрушения и пластических деформаций. Основные конструкционные материалы, применяемые в машиностроении, обладают ярко выраженными пластическими свойствами и одинаково работают как на растяжение, так и сжатие. Поэтому предельным состоянием, которое может нарушить нормальную работу детали или конструкции, является переход из упругого состояния в пластическое состояние в одной из точек детали или конструкции. Данный переход характеризуется некоторым критерием, называемым критерием прочности (в сопротивлении материалов) или условием пластичности(в теории пластичности). В настоящее время наиболее обоснованным экспериментально и теоретически является критерий прочности, традиционно именуемый в сопротивлении материалов как энергетическая(или четвёртая) теория прочности. В теории пластичности тот же самый критерий называется условием пластичности Губера – Мизеса.

          Сформулируем указанный критерий прочности в виде, удобном для общего практического использования, и проиллюстрируем его применение для разных случаев напряжённого состояния в стержнях.

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превосходить допускаемое. [1]

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое. [2]

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превосходить допускаемого. [3]

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превосходить допускаемое. [4]

Как записывается условие прочности балки. [5]

Следовательно, условие прочности балки Оде [ ( т ] выполнено. [6]

Следовательно, условие прочности балки ад [ ог ] выполнено. [7]

Исходя из условий прочности балки возникающие в ней напряжения не должны превосходить допускаемых. В связи с этим необходимо уметь определять наибольшие значения этих напряжений. При изгибе величина нормальных напряжений зависит от величины изгибающего момента М, а касательных - от величины поперечной силы Q, поэтому в каждом случае необходимо изучить изменения М и Q по длине балки. [8]

Так как по условию прочности балки возникающие в ней напряжения не должны превосходить допускаемых, необходимо уметь определять наибольшие значения этих напряжений. При изгибе величина нормальных напряжений зависит от величины изгибающего момента М, а касательных - от величины поперечной силы Q, поэтому в каждом случае необходимо изучить изменения М и Q по длине балки. Для балок влияние поперечной силы на прочность в подавляющем большинстве случаев очень незначительно. Поэтому балки рассчитывают, как правило, только по изгибающему моменту. [9]

Начальная база для построения общих условий прочности железобетонных элементов была заложена еще в 30 - 40 годы. В этой связи следует отметить: выдвинутый в эти годы А.Ф. Лолейтом основополагающий принцип построения условия прочности балок из пластического железобетона по нормальной трещине, результаты его развития и экспериментального исследования многими авторами; теоретическое обоснование метода предельного равновесия, данное А.А. Гвоздевым [31]; разработанные К. [10]

17)Напряжения и деформации

При растяжении стержня его длина увеличивается, а поперечные

размеры уменьшаются. Изменение длины l ∆ называется абсолютной продольной деформацией, а изменения поперечных размеров b ∆ и h ∆ – абсолютными поперечными деформациями. По этим величинам вычисляют относительную продольную деформацию

ε= и от-носительную поперечную деформацию

Опытами установлено, что отношение

µ= ε′/ ε остаётся постоянным

для каждого материала и находится в интервале0...0,5.

Параметр µ= ε′/ ε называется коэффициентом Пуассона.

В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения,

которые, согласно гипотезе плоских поперечных сечений, равномерно

распределены по всей площади сечения (рис. 2.3, а) и равны отноше-нию продольной силы к площади поперечного сечения

σ= A/ N

Между нормальными напряжениями и относительной продольной

деформацией существует зависимость, называемая законом Гука:

ε = σ E ,

в которой коэффициент пропорциональности Е называется модулем

упругости. Модуль упругости определяется опытным путем и является

важной характеристикой материала. Единицы измерения модуля упру-гости совпадают с единицами измерения напряжений(МПа, кН/см

Абсолютную продольную деформацию вычисляют по формуле

∆l= Nl/ EA

где произведение ЕА называется жёсткостью при растяжении(сжатии).

Анализ напряженного состояния показывает, что в поперечных сече-ниях стержня действуют только нормальные напряжения, в продольных

сечениях нет никаких напряжений, а в наклонных сечениях возникают

нормальные и касательные напряжения. Наибольшие касательные

напряжения равны половине нормальных напряжений в поперечном се-чении и действуют на площадках, наклоненных под углом45° к продоль-ной оси стержня

18)Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Для прочностных расчетов используют метод допускаемых напряже-ний, метод разрушающих нагрузок и метод предельных состояний.

В методе допускаемых напряжений вводится понятие допускаемого

напряжения [σ], величина которого получается делением опасного напря-жения σоп

на коэффициент запаса прочности n

[σ ]= σ оп/ n

Опасным напряжением принимается либо предел текучести, либо

предел прочности. Коэффициент запаса прочности n >1, он учитывает

естественный разброс результатов опытов по определению σоп

, неточность других факторов

Условие прочности имеет вид

σ max= N/ A≤[ σ]

Для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжа-тию, вводят два различных допускаемых напряжения

Условие прочности позволяет решать три типа задач:

• при заданных нагрузках, размерах поперечного сечения и допуска-емых напряжениях проверять прочность стержня

σ max= N/ A≤[ σ]

• при заданных нагрузках и величине допускаемых напряжений опре-делять площадь, а затем размеры поперечного сечения

A≥ N/[ σ]

• при заданных размерах поперечного сечения и величине допуска-емых напряжений определять величину допускаемой продольной силы в

стержне

N ≤ [σ ]A

В методе разрушающих нагрузок условие прочности имеет вид:

F ≤[F ] ,

где F– величина действующей нагрузки на конструкцию; [ ] F – величина

допускаемой нагрузки.

19)Согласно закону парности касательных напряжений

τ xy = τ yx , т. е.

касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках рав-ны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.

20) Миронов стр17-24