5. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Формулы для моментов инерции при параллельном переносе осей:

Jx₁= A(y+a)²dA=J_x+2aS_x+a2A 

Jy₁= A(x+b)²dA=J_y+2bS_y+b2A 

Jx₁y₁= A(y+a)(x+b)dA=J_xy+aS_y+bS_x+abA 

Если S_x и S_y равны нулю. Тогда:

J_x1=J_xc+a²A

J_y1=J_yc+b²A

J_x1y1=J_xcyc+abA

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции  относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции сечения.

Из формул следует, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси сечения, параллельной центральной.

26) Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Условие прочности. Простей­шие расчеты на срез.

Рис.11.2

Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из

главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;

Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называется углом сдвига. Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге

где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см2.

Условие прочности

Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию чистого сдвига. Пусть каса-

тельные напряжения на гранях элемента максимальны и равны , а допускаемое напряжение для материала при растяжении – [σ].

Если для материала известна величина допускаемых касательных напряже-

ний при сдвиге ,то условие прочности может быть записано в виде:

Величина допускаемых напряжений зависит от свойств материала, харак-

тера нагрузки, типа элементов конструкции и для чистого сдвига определяет-

ся обычно по III теории прочности:

27. Задача и методы сопротивления материалов.

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вслед­ствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел.

В состав механики деформируемых тел входят также такие дис­циплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория пол­зучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердо­го деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать при­емлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование зна­ний для применения математического аппарата при решении при­кладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений.

Полное, нормальное и касательное напряжения.

Векторная величина, равная интенсивности внутреннего усилия в произвольной точке сечения стержня, называется напряжением. Различают нормальное напряжение , перпендикулярное плоскости сечения, и касательные напряжения , лежащие в плоскости сечения (рис. 1.4).

Выделим небольшую площадку ∆A. Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим∆R . Полное среднее напряжение на этой площадке р =∆R ∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела. 

p =lim A 0 A R

Полное напряжение p , как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ_n и касательное к площадке – касательное напряжение  n. 

Напряжения можно вычислить на любой бесконечно малой площадке dA, проходящей через точку твердого тела. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке. Напряжения измеряют в паскалях, но чаще в мегапаскалях или в килоньютонах на сантиметр квадрат-

ный, что удобнее в практических расчетах.

Перемещения и деформации

Перемещение — изменение положения точки тела в пространстве вследствие изменения его формы и размеров под действием нагрузки. Полное перемещение точки в пространстве раскладывается на компоненты u, v и w, параллельные осям x, y и z, соответственно.

Деформация — изменение формы и размеров тела.

Перемещения рассматриваемой точки зависит от деформации всех нагруженных областей тела и включают также в себя перемещения как жесткого целого ненагруженных областей. Поэтому перемещения не могут характеризовать степень деформирования в окрестности рассматриваемой точки. Для этого используют понятие деформации. В отдельных случаях их величины могут совпадать (растяжение стержня), но в общем случае — это разные вещи.

Деформации могут быть угловые и линейные.

Линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Различают абсолютную деформацию ΔL иотносительную деформацию ε = ΔL/L.

Угловая деформация характеризует изменение формы тела и чаще всего называется углом сдвига.

Угол сдвига — это изменение первоначально прямого угла. γ = α + β .

Полная деформация — это сумма линейной и угловой деформации.

Если взять малый элемент тела параллелепипед, ориентированный по осям x, y, z, то соответственно возникает три линейных деформации (вдоль осей x, y, z ) ε_x,ε_y, ε_z 

x=dxΔdx y=dyΔdy z=dzΔdz

и три угловые деформации  xy yz zx в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях.

Относительные линейные и угловые деформации – величины безразмерные.