10.5 Принятие решений в условиях неопределенности

Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в которой принимается управленческое решение о развитии (или функционировании) экономического объекта. Здесь будем рассматривать неопределенность «природы», вызванную отсутствием, недостатком информации о действительных условиях (факторах), при которых развивается объект управления. Внешняя среда («природа») может находиться в одном из множества возможных состояний. Это множество может быть конечным и бесконечным. Будем считать, что множество состояний конечно или по крайней мере количество состояний можно пронумеровать.

Пусть S_i - состояние «природы», при этом , где n - число возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого управленческого решения. Будем считать, что множество управленческих решений (планов) R_j также конечно и равно m. Реализация R_j, плана в условиях, когда «природа» находится в S_i состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана); потери от принимаемого решения, а также полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимые для принятия решения в условиях нео­пределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки кото­рой соответствуют возможным действиям (управленческим реше­ния) R_j а столбцы - возможным состояниям «природы» S_i.

Допустим, каждому R_j-му действию и каждому возможному S_i-му состоянию «природы» соответствует результат (исход), опре­деляющий результат (выигрыш, полезность) при выборе j-го дейст­вия и реализации i-го состояния, - V_ji.

(10.21)

Следовательно, математическая модель задачи принятия реше­ний определяется множеством состояний {S_i}, множеством планов (стратегий) {R_j} и матрицей возможных результатов ||V_ji||. В качест­ве результатов в отдельных задачах рассматривается матрица ри­сков ||r_ji||.

Риск - мера несоответствия между разными возможными ре­зультатами принятия определенных стратегий (действий).

Элементы матрицы рисков ||r_ji|| связаны с элементами матрицы полезностей (выигрышей) следующим соотношением:

(10.22)

где V_i = — максимальный элемент в столбце i матрицы полезностей.

Таким образом, риск - это разность между результатом, который можно получить, если знать действительное состояние «природы», и результатом, который будет получен при j-й стратегии.

Матрица рисков дает более наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей (полезностей).

Непосредственный анализ матриц выигрышей ||V_ji|| или рисков ||r_ji|| не позволяет в общем случае принять решение по выбору оптимальной стратегии (плана), за исключением тривиального случая, когда выигрыши при одной стратегии выше, чем при любой другой для каждого состояния «природы» (элементы матрицы выигрышей в некоторой строке больше, чем в любой из других). Другими словами, имеется в наличии «доминирующая» стратегия.

Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев. Рассмотрим некоторые из них. Это критерий Лапласа, критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

Критерий Лапласа. Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» S_i, полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию S_i ставится вероятность q_i, определяемая по формуле:

(10.23)

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R_j дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каждого действия R_j вычисляют среднее арифметическое значение выигрыша:

(10.24)

Среди M_j(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R_j.

Другими словами, находится действие R_j^*, соответствующее

(10.25)

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков ||r_ji|| то критерий Лапласа принимает следующий вид:

(10.26)

Пример 2. Одно из транспортных предприятий должно определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится табл. 10.3, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей:

Таблица 10.3 - Возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные услуги, д.е.
	1	2	3	4
1 2 3 4	6 9 23 27	12 7 18 24	20 9 15 21	24 28 19 15

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Решение

Согласно условию задачи имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S₄. Известны также четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: R₁, R₂, R₃, R₄. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S_i и R_i, заданы следующей матрицей (таблицей):

Принцип Лапласа предполагает, что S₁ S₂, S₃, S₄ равновесны. Следовательно, P{S=S_i} = = =0,25, i = 1, 2, 3, 4 и ожидаемые затраты при различных действиях R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Лапласа будет R₂.

Критерий Вальда (минимаксный или максиминный критерий). Применение данного критерия не требует знания вероятностей состояний S_i. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий R_j.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат V_ji представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j необходимо в каждой матрицы результатов найти наибольший элемент , a затем выбирается действие R_j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

(10.27)

Если в исходной матрице по условию задачи результат V_ji представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Для определения оптимальной стратегии R_j в каждой матрицы результатов находят наименьший элемент , а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т.е. действие, определяющее результат, равный

(10.28)

Пример 3. Рассмотрим пример 2, Так как V_ji в этом приме­ре представляет потери (затраты), применим минимаксный крите­рий. Необходимые результаты вычисления приведены в табл. 10.4:

Таблица 10.4 – Результаты расчетов

Состояния Стра- Si тегия, Rj	Затраты, д. е. (Vji)				max {Vji}	W=min max {Vji}
	S1	S2	S3	S4
R1 R2 R3 R4	6 9 23 27	12 7 18 24	20 9 15 21	24 28 19 15	24 28 23 27	- - 23 -

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R₃.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков ||r_ji||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (10.21), (10.22), которые перепишем в следующем виде:

(10.29)

Это означает, что r_ji есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями V_ji при том же i. Отметим, что неза­висимо от того, является ли V_ji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), r_ji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r_ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию R_j при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 4. Рассмотрим пример 2. Заданная матрица опре­деляет потери (затраты). По формуле (10.29) вычислим элементы матрицы рисков ||r_ji||:

Полученные результаты вычислений с использованием критерия минимального риска Сэвиджа оформим в табл. 10.5.

Таблица 10.5 - Результаты вычислений с использованием критерия минимального риска Сэвиджа

Состояния Стра- Si тегия, Rj	Величина рисков, д. е. (Vji)				max {rji}	W=min max {rji}
	S1	S2	S3	S4
R1 R2 R3 R4	0 3 17 21	5 0 10 17	10 0 6 12	9 13 4 0	10 13 17 21	10 - - -

Введение величины риска r_ji привело к выбору первой стратегии R₁, обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

Критерий Гурвица. Основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- ) и в самом выгодном состоянии с вероятностью , где - коэффициент доверия. Если результат V_ji - прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:

(10.30)

Когда V_ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

(10.31)

Если =0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если = 1, то приходим к решающему правилу вида или к так называемой стратегии «здорового оптимиста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - ) и , где 0 < < 1. Значение от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 5. Критерий Гурвица используем в примере 2. По­ложим = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены в табл. 10.6.

Таблица 10.6 - Результаты вычислений с использованием критерия Гурвица

Wj
W1 W2 W3 W4	6 7 15 15	24 28 23 27	15 17,5 19 21	15 - - -

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор:

по критерию Лапласа - выбор стратегии R₂;

по критерию Вальда - выбор стратегии R₃,

по критерию Сэвиджа - выбор стратегии R₁;

по критерию Гурвица - выбор стратегии R₁ при =0,5, а ес­ли лицо, принимающее решение, - пессимист ( = 0), то выбор стратегии R₃

Какое из возможных решений предпочтительнее?

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.