10.6 Теория игр

В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений в условиях определенности, риска и неопределенности, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодействующие стороны, интересы которых противоположны. При конфликтных ситуациях решения принимаются в условиях неопределенности двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений в условиях конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру.

Игра - это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

- выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;

- информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

- плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игру можно определить следующим образом:

- имеются n конфликтующих сторон (игроков), принимающих решения, интересы которых не совпадают;

- сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;

- определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);

- всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Платежи задаются в виде матрицы .

В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя игроками) и множественные (имеющие неменее трех игроков). Каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, т. е. стратегий.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения, стратегии каждого игрока определяют результаты или платежи в игре, игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется с ненулевой суммой.

В подразд. 9.5 рассматриваются только игры двух лиц с нулевой суммой. Задание стратегии (А и В) двух игроков в парной игре полностью определяет ее исход, т. е. выигрыш одного или проигрыш другого. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называ­ется платежной матрицей или матрицей игры.

Если первый игрок имеет m стратегий, а второй — n стратегий, то говорят, что мы имеем дело с игрой m n.

Рассмотрим игру m n. Пусть заданы множество стратегий: для первого игрока {A_i}, для второго игрока {B_j}, платежная матрица , где _ij - выигрыш первого игрока или проигрыш вто­рого игрока при выборе ими стратегий А_i и B_j соответственно. Каж­дый из игроков выбирает однозначно с вероятностью 1 некоторую стратегию, т.е. пользуется при выборе решения чистой стратегией. При этом решение игры будет в чистых стратегиях. Поскольку инте­ресы игроков противоположны, то первый игрок стремится макси­мизировать свой выигрыш, а второй игрок, наоборот, минимизиро­вать свой проигрыш.

Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком про­водится при полном отсутствии информации о принимаемом ре­шении вторым игроком. Следует отметить, что и первый, и второй игрок являются разумными противниками, которые находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с нуле­вой суммой используется очень «пессимистичный» критерий, так называемый критерий мини-макса-максимина. Этот критерий рас­смотрен в пункте 10.4. Основное отличие заключается в том, что ранее «природа» не рассматривалась как активный противник, тог­да как в теории игр каждый игрок действует разумно и, следовательно, пытается активно помешать своему противнику. Так, если первый игрок применяет стратегию A_i то второй будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии B_j свести выиг­рыш первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к минимуму. Величина этого минимума

(10.32)

Первый игрок (при любых ответах противника) будет стремить­ся найти такую стратегию, при которой а, обращается в максимум:

(10.33)

Величина называется нижней ценой игры. Ей соответствует максиминная стратегия, придерживаясь которой первый игрок при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш, не меньший .

Другими словами, нижняя цена игры является гарантированным выигрышем первого игрока при любых стратегиях второго игрока.

Аналогично определим по каждому столбцу матрицы , найдем минимальное значение :

(10.34)

Величина называется верхней ценой игры. Ей соответствует минимаксная стратегия второго игрока. Величина представляет собой гарантированный проигрыш второго игрока при любой стратегии первого игрока.

Пример 6. Дана платежная матрица 3x4, которая определяет выигрыши игрока А. Вычислить нижнюю и верхнюю цены заданной игры.

Решение

Представим нашу игру в виде табл. 10.7:

Таблица 10.7

Стратегии первого игрока, Аi	Стратегия второго игрока, Bj				Значение,
	B1	B2	B3	B4
A1 A2 A3 Значение	10 7 6 10 -	4 6 2 6 6	10 8 1 10 -	7 20 10 20 -	4 6 1 - -	- 6 - -

Если игрок А выбирает первую стратегию, он может получить выигрыш в размере 10, 4, 10 или 7 д. е. в зависимости от выбранной стратегии игроком В. При этом выигрыш игрока будет не меньше = min{10; 4; 10; 7} = 4 д. е. независимо от поведения игрока В. Аналогично при выборе игроком А второй стратегии гарантированный выигрыш = min{7; 6; 8; 20} = 6 д. е. При выборе игроком А третьей стратегии выигрыш = min{6; 2; 1; 10} = 1 д.е.

Таким образом, минимальные значения , i = определяют минимально гарантированный выигрыш для игрока А, если он выбирает соответствующую стратегию i. Величина д.е. будет гарантированным выигрышем игрока А при любых стратегиях игрока В. Выбранная игроком А вто­рая стратегия называется максиминной стратегией, а соответствую­щее ее значение выигрыша = 6 д. е. будет нижней ценой игры.

Второй игрок стремится минимизировать свой проигрыш. Вы­брав первую стратегию , игрок В может проиграть не более чем д. е. независимо от выбора стратегии игроком А. Аналогично рассуждая, получим следующие результаты (д. е.):

Игрок В выбирает стратегию , которая минимизирует его мак­симальные проигрыши:

д.е.

Величина = 6 д. е. будет гарантированным проигрышем игро­ка В при любых стратегиях игрока А. Выбранная игроком В вторая стратегия называется минимаксной стратегией, а соответствующее ее значение проигрыша = 6 д. е. будет верхней ценой игры.

Следует отметить, что для любой матрицы выполняет­ся неравенство

(10.35)

Если = , т. е. верхняя цена равна нижней цене игры, то со­ответствующие чистые стратегии называются оптимальными, а про игру говорят, что она имеет седловую точку. Седловая точка явля­ется минимальным элементом соответствующей строки и макси­мальным элементом соответствующего столбца. Эта точка есть точ­ка равновесия игры, определяющая однозначно оптимальные стра­тегии. Оптимальность здесь означает, что ни один игрок не стре­мится изменить свою стратегию, так как его противник может на это ответить выбором другой стратегии, дающей худший для пер­вого игрока результат.

Величина С = = называется ценой игры. Она определяет средний выигрыш игрока А и средний проигрыш игрока В при ис­пользовании ими оптимальных стратегий. В нашем примере цена игры С = 6 д. е., оптимальная пара стратегий – А₂ и B₂.

Если в платежной матрице А все элементы строки А_i = (а_i1, а_i2, …, a_in) не меньше соответствующих элементов строки А_k = (a_k1, a_k2,…,a_kn) , а по крайней мере один строго больше, то строка A_i называется доминирующей, а строка А_k — доминируемой.

Аналогичны понятия «доминирующий столбец» и «доминируемая строка».

Первому игроку невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминируемые строки; второму игроку невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминирующие столбцы. Поэтому при решении игры можно уменьшить размеры платежной матрицы путем удаления из нее доминирующих столбцов и доминируемых строк.

Пример 7. Для игры с платежной матрицей

найдите стратегии игроков и цену игры.

Решение

Элемент а₃₂ = -1 является наименьшим в третьей строке и наибольшим во втором столбце, т. е. он является Седловой точкой. Поэтому цена игры С = - 1, а оптимальные стратегии игроков: первого – А₃, а второго – В₂.

Используя понятия доминируемых строк и доминирующих столбцов, задачу можно решить следующим образом.

В матрице А третья строка доминирует над второй, поэтому вторую можно изъять из платежной матрицы. В результате получится матрица:

В матрице А₁ первый и третий столбцы доминируют над вторым, следовательно, их можно изъять. В результате платежная матрица принимает вид:

В матрице А₂ вторая строка доминирует. После вычеркивания получится матрица А₃, состоящая из одного элемента:

Элемент матрицы А₃ и определяет решение нашей задачи.

Отдельные игры могут не иметь седловых точек, т. е. у каждого игрока не существует единственной, наиболее надежной стратегии. В этом случае используют смешанную стратегию. Смешанная стратегия состоит в том, что в ходе игры происходит случайный выбор стратегии из некоторого множества смешанных стратегий и для каждой смешанной стратегии указывается вероятность ее выбора. Смешанная стратегия для игрока А представляет собой вектор

(10.36)

где Р_i - вероятность выбора i-й стратегии игроком и удовлетворяет следу­ющим условиям:

(10.37)

Аналогично смешанная стратегия игрока В представляет собой вектор

(10.38)

где q_j - вероятность выбора j-й стратегии игроком В - удовлетворяет сле­дующим условиям;

(10.39)

(10.40)

Таблица 10.8 - Платежная матрица игры

В А	q1	q2	q3	…	qn
P1 P2 P3 . . . Pm	a10 a21 a31 . . . am1	a12 a22 a32 . . . am2	a13 a23 a33 . . . am3	… … … …	a1n a2n a3n . . . amn

Игрок А выбирает стратегию Р_i, так, чтобы максимизировать наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам платежной матрицы, тогда как игрок В выбирает стратегию q_j с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш по строкам. Математически критерий минимакса при смешанных стратегиях может быть описан следующим образом. Игрок А выбирает стратегию P_i , дающую

(10.41)

Игрок В выбирает стратегию q_j, дающую

(10.42)

Когда стратегии Р_i⁰ и q_j⁰ оптимальны, то выполняется строгое равенство между максиминным ожидаемым выигрышем и минимаксным проигрышем, а результирующее значение равно оптимальному (ожидаемому) значению игры.

Этот вывод следует из теоремы фон Неймана о минимаксе. Теорема утверждает, что выражения (10.41), (10.42) имеют одно и то значение M(P₀,Q₀), называемое ценой игры. Если Р_i⁰ и q_j⁰ - оптимальные решения для обоих игроков, каждому элементу платежной матрицы a_ij соответствует вероятность Следовательно, оптимальное ожидаемое значение игры

(10.43)

Цена игры заключена между нижней и верхней ценами, т. е.

(10.44)

Решить конечную игру - это значит нужно найти векторы Р и Q (оптимальные стратегии), удовлетворяющие теореме о минимаксе, а следовательно, получить величину ожидаемого платежа M(P₀,Q₀) - цену игры.

Свойство оптимальности означает, что любое отступление од­ного из игроков от оптимальной стратегии (при условии, что вто­рой игрок продолжает придерживаться своей оптимальной страте­гии) при многократном повторении игры может только уменьшить его средний выигрыш (увеличить средний проигрыш).

Решение игры обладает одним важным свойством: если игрок А использует свою оптимальную стратегию, а игрок В смешивает свои стратегии в любых пропорциях, то средний выигрыш игрока А не уменьшается. Стратегии, которые смешиваются для получе­ния оптимальной стратегии, будем называть полезными. Доказано, что у игры существует такое оптимальное решение, что чис­ло полезных стратегий с каждой стороны не превосходит мини­мального из чисел m и n.

Известно несколько методов нахождения оптимальных страте­гий в играх двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим один из мето­дов - метод линейного программирования для нахождения решения игр.

Пусть игра не имеет оптимального решения непосредст­венно в чистых стратегиях, т. е. отсутствует седловая точка ( ). Оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Предположим, что все m стратегий игрока А полезные. Определим вероятности их применения в смешанной оптимальной стратегии. Обозначим эти вероятности через P_i, i = , а цену иг­ры - через М. Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия (10.45):

(10.45)

Пусть

(10.46)

Поскольку при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше М при любой стратегии противника, то справедлива систе­ма n неравенств:

(10.47)

или

(10.48)

Тогда задача отыскания оптимальной смешанной стратегии игрока А может быть сформулирована в виде задачи линейного программирования.

Для этого необходимо максимизировать Z = М при ограничениях

(10.49)

,

Введем новые неизвестные:

Чтобы исключить возможность деления на нуль, увеличим цену игры на положительное число С. Для этого достаточно ко всем элементам матрицы ||а_ij|| прибавить одно и то же положите, число С, при этом все элементы а_ij сделать положительными. Следует отметить, что эта операция не меняет искомых оптимальных стратегий, поскольку

то .

Разделим левую и правую части неравенств (10.46) и (10.47) получим:

(10.50)

(10.51)

В силу того что,

задача принимает вид

(10.52)

при ограничениях

(10.54)

Для игрока В оптимальная стратегия определяется из условия (9.44):

при ограничениях

(10.55)

Эта задача записывается как симметричная двойственная зада­ча линейного программирования к задаче игрока А (10.50), (10.51):

максимизировать

(10.56)

при ограничениях

(10.57)

где

Задачи игроков А и В решают обычным симплекс-методом.

Пример 8. Рассмотрим игру 3x4:

Определим и ,

где - минимум в i-й строке;

— максимум j-м столбце.

Нижняя цена игры равна максимину = -2, верхняя цена игры равна минимаксу = 2. Так как , то седловая точка игры отсутствует, задача должна решаться в смешанных стратегиях.

Нижняя цена игры - число отрицательное ( = -2), возможно, значение игры М не будет положительным. Число С, которое необходимо прибавить ко всем элементам матрицы, быть не меньше 2. Пусть С = 6. Тогда матрица принимает

Задача игрока В записывается в форме задачи линейного программирования

при ограничениях:

Решая задачу симплекс-методом, получим:

Таким образом, решением исходной задачи будет следующее:

В нашем примере первая и вторая стратегии игрока В бесполезны, так как q₁⁰ = q₂⁰ = 0. При случайном чередовании третьей и четвертой стратегий с относительными частотами q₃⁰ = 0,75 и q₄⁰ = 0,25 соответственно игроку В обеспечен средний выигрыш в размере М = 0,25.

Оптимальные стратегии игрока А получаются из решения двой­ственной задачи.

В настоящее время развитие теории игр вышло далеко за пре­делы рассмотренного нами простейшего случая парных игр с нуле­вой суммой. Однако ограниченный объем книги не позволяет дать представление о более сложных разделах современной теории игр, таких, как множественные коалиционные игры, дифференциаль­ные игры и др.

Контрольные вопросы:

1. Какие этапы можно выделить в процессе управления финансовыми рисками?

2. Какие преимущества и недостатки имеет хеджирование в контексте управления финансовыми рисками?

3. Для чего используются (строятся) кривые безразличия?

4. В чем заключается проблема выбора оптимального портфеля финансовых активов?

5. Как рассчитывается ожидаемая доходность и риск портфеля активов?

6. Чем отличаются эффективное и достижимое множества портфелей финансовых активов?

7. Что представляют собой безрисковые активы (заимствования)?

8. Какие положения лежат в основе модели оценки финансовых активов (САРМ)?

9. Как учитываются рыночные индексы и рыночные портфели при оценке фи­нансовых активов и выборе оптимального портфеля финансовых активов?

10. В чем состоят достоинства и недостатки VaR и дюрации (анализа чувствительного финансового инструмента)?

11. И ковариация, и коэффициент корреляции измеряют степень взаимосвязан­ности доходностей двух ценных бумаг. Какая зависимость существует меж­ду этими двумя статистическими мерами? Почему коэффициент корреляции является более удобной мерой

12. Если ожидаемая доходность портфеля равняется средневзвешенной ожидаемой доходности ценных бумаг, входящих в портфель, почему же тогда об­щий риск портфеля не равняется средневзвешенной стандартных отклоне­ний ценных бумаг, входящих в портфель?

13. Объясните, почему большинство владельцев активов предпочитают иметь диверсифицированные портфели вместо того, чтобы вкладывать все свои средства в один финансовый актив. Для объяснения своего ответа используйте изображения множества достижимости и эффективного множества.

14. Почему диверсификация приводит к уменьшению собственного риска, но нерыночного риска? Приведите и интуитивное, и математическое объяснение.

15. Объясните, почему понятия ковариации и диверсификации тесно связаны между собой.

16. В терминах модели Марковича объясните на словах и с помощью графиков, как инвестор выбирает свой оптимальный портфель. В какой особой инфор­мации нуждается инвестор для определения данного портфеля?

17. Почему эффективное множество обобщенной модели Марковица с учетом возможности предоставления и получения безрисковых займов имеет только одну общую точку с эффективным множеством обычной модели Марковица?

18. Как скажется на ожидаемой доходности и риске портфеля в целом возмож­ность безрискового заимствования с последующим инвестированием в оптимальный рискованный портфель?

19. Укажите ключевые предположения, лежащие в основе САРМ.

20. Объясните различие между рыночной линией (CML) и рыночной линией ценной бумаги (SML).

21. Почему ожидаемая доходность ценной бумаги прямо связана с ее ковариацией с рыночным портфелем?

22. Согласно модели САРМ, стандартное отклонение ценной бумаги разделяет­ся на рыночный и нерыночный риск. Объясните разницу между ними.

23. В чем суть теории игр?

Задания:

Задание 1. Инвестор имеет три варианта рискового вложения капитала, норма прибыли по которым зависит от условий хозяйственной ситуации (ставки бан­ковского процента, конъюнктуры рынка ценных бумаг, других), являющейся неопределенной (табл. 10.3). При этом возможны любые сочетания вариантов вложения капитала и условий хозяйственной ситуации.

Определите наиболее рентабельный вариант вложения капитала:

1. путем сравнения величины риска и размеров нормы прибыли по вариантам вложений капитала;

2. используя критерии максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица;

3. при условии, что известны вероятности хозяйственных ситуаций: П₁=0,3; П₂=0,2;П₃=0,5.

Таблица 10.3 - Норма прибыли на вложенный капитал

Варианты рискового вложения капитала	Условия хозяйственной ситуации
	П1	П2	П3
А,	10	4	3
А2	2	7	5
А3	6	4	8

Задание 2. Инвестор произвел следующую оценку совместного вероятностного распределения доходностей от инвестиций в акции компании А и В:

А(в%)	В(в%)	Вероятность
-10	15	0,15
5	10	0,20
10	5	0,30
20	0	0,35

Основываясь на оценках инвестора, вычислите ковариацию и коэффици­ент корреляции двух инвестиций.

Задание 3. Вычислите корреляционную матрицу, которая соответствует ковариа­ционной матрице для акций компаний А, В и С, приведенной в лекциях.

Задание 3. Вычислите стандартное отклонение портфеля по заданной ковариаци­онной матрице для трех ценных бумаг и процентному содержанию бумаг в портфеле.

	Ценная бумага А	Ценная бумага В	Ценная бумага С
Ценная бумага А	459	-210	102
Ценная бумага В	-210	312	215
Ценная бумага С	102	215	179
	ХА=0,50	Хв=0,30	Хс=0,20

Задание 5. Инвестор имеет три вида акций. Он произвел оценку следующего со­вместного вероятностного распределения доходностей:

Результат	Акция А	Акция В	Акция С	Вероятность
1	-10	10	0	0,30
2	0	10	10	0,20
3	10	5	15	0,30
4	20	-10	5	0,20

Вычислите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, инвестор инвестирует 20% средств в акции А, 50% - в акции В и 30% - в акции С. Предполагается, что доходность каждой ценной бумаги является некоррели­рованной с доходностью остальных ценных бумаг.

Задание 6. Инвестор обладает портфелем, состоящим из двух ценных бумаг, взя­тых в следующих долях и имеющих следующие ожидаемые доходности и стан­дартные отклонения:

Ценная бумага	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение	Доля
А	10%	20%	0,35
В	15	25	0,65

Для различных уровней корреляции этих ценных бумаг определите мак­симальное и минимальное значения стандартного отклонения портфеля.

Задание 7. Инвестор обладает портфелем, рыночная модель которого записывает­ся следующим образом:

r = l,5%+0,90r_I + Spi.

Какой будет ожидаемая доходность портфеля инвестора, если ожидаемая доходность на индекс рынка составляет 12%?

Задание 8. Акции компании КМ имеют «бета»-коэффициенты, равные 1,20. В те­чение пяти лет следующие доходности были получены на акции КМ и индекс рынка.

Год	Доходность на акции КМ	Индекс рынка
1	17,2%	14,0%
2	-3,1	-3,0
3	13,3	10,0
4	28,5	25,0
5	9,8	8,0

Предполагая, что коэффициент смещения рыночной модели равен 0%, вычислите стандартное отклонение случайной погрешности рыночной модели за данный период.

Задание 9. Инвестор имеет портфель, составленный из трех ценных бумаг со сле­дующими характеристиками:

Ценная бу­мага	«Бета»-коэффициент	Стандартное отклонение случай­ной погрешности	Доля
А	1,20	5%	0,30
В	1,05	8	0,50
С	0,90	2	0,20

Каким будет общий риск портфеля инвестора, если стандартное отклоне­ние индекса рынка равняется 18%?

Задание 10. Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырех ценных бумаг, а второй - из десяти. Все ценные бумаги имеют «бета»-коэффициент, равный единице, и собственный риск в 30%. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислите общий риск обоих портфелей, если стандартное от­клонение индекса рынка составляет 20%.

Задание 10. Пусть известны вектор ожидаемой доходности и матрица ковариации трех активов (ценных бумаг):

10,1 210 60 0

ER= 7,8 VC= 60 90 0

5,0 0 0 0

и известно, что рискованный портфель инвестора разбит пополам на два риско­ванных актива.

а) Какая из трех ценных бумаг является безрисковым активом? Почему?

б) Подсчитайте ожидаемый доход и стандартное отклонение для портфе­ля инвестора.

в) Если безрисковый актив составляет 25% всего портфеля инвестора, то чему равна ожидаемая доходность и стандартное отклонение всего портфеля?

Задание 12. Нарисуйте прямую рыночных активов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля составляет 12%, его стандартное отклонение - 20%, а без­рисковая процентная ставка - 6%.

Задание 13. Пусть в рыночный портфель входят две ценные бумаги со следующи­ми характеристиками:

Ценная бумага	Ожидаемая доходность (в%)	Стандартное отклонение (в%)	Доля в рыночном портфеле
А	10	20	0,40
В	15	28	0,60

При условии, что корреляция этих ценных бумаг составляет 0,30, а без­рисковая ставка равна 5%, определите уравнение рыночной линии.

Задание 14. Рыночный портфель состоит из четырех ценных бумаг со следующи­ми характеристиками:

Ценная бумага	Ковариация с рын­ком	Доля
А	242	0,20
В	360	0,30
С	155	0,20
D	210	0,30

Исходя из этих данных, подсчитайте стандартное отклонение рыночного портфеля.

Задание 15. Инвестор владеет портфелем, включающим три вида ценных бумаг. Какова «бета» портфеля инвестора, если доли ценных бумаг и значения их «бе­ты» составляют:

Ценная бумага	«Бета»	Доля
А	0,90	0,30
В	1,30	0,10
С	1,05	0,60

Задание 16. Пусть ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 15%, его стандартное отклонение - 21%, а безрисковая ставка- 7%. Каково стандартное отклонение хорошо диверсифицированного портфеля (не несущего нерыночно­го риска), если его ожидаемая доходность составляет 16,6%?

Задание 17. Пусть ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 10%, безрис­ковая ставка - 6%, значение «беты» для акций А и В равны 0,85 и 1,20 соответ­ственно.

а) Нарисуйте SML

б) Каково уравнение этой прямой?

в) Каковы равновесные значения ожидаемых доходностей акций А и В?

г) Отметьте эти две ценные бумаги на SML.

Задание 18. Для пяти проектов технических систем определены относи­тельные единичные показатели технического совершенства конст­рукции и коэффициенты весомости единичных показателей. Чис­ленные значения единичных показателей и коэффициентов весо­мости приведены в следующей таблице:

Варианты технических систем	Относительные единичные показатели
	слож­ности	веса	времени подго-товки	автома­тизации	мощности	унифи­кации
I II III IV V Коэффици­енты веса	1,0 0,72 0,658 0,425 0,467 0,157	0,088 1,0 0,358 0,97 0,555 0,124	1,0 0,8 0,765 0,755 0,865 0,210	1,0 0,78 0,782 0,70 0,705 0,195	0,72 0,81 0,525 0,98 0,865 0,174	0,614 0,420 0,915 0,31 0,650 0,140

Проведите ранжирование проектов технических систем по ком­плексному критерию.

Задание 19. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по техническому обеспечению процесса управления производст­вом. С помощью статистических данных и информации соответствующих заводов-изготовителей были определены локальные критерии функционирования необходимого оборудования, данные представлены в следующей таблице:

Варианты оборудования	Локальные критерии эффективности оборудования*
	производитель- ность, д.е.	стоимость оборудования, д.е.	объем памяти, у.е.	надежность, у.е.
I II III IV Коэффициенты веса	100 150 120 200 0,25	5 6 4 7 0,20	5 8 6,5 6 0,32	8 5 6 4 0,23
* Значения локальных критериев даны в условных единицах

Задание 20. Для шести проектов транспортных устройств определены относительные единичные показатели технического совершенства конструкций. Численные значения единичных показателей и соответствующие весовые коэффициенты приведены в следующей таблице:

Варианты транспортных устройств	Относительные единичные показатели
	скорос- ти, К1	прочно- сти, К2	пере- грузки, К3	устойчи- вости, К4	металло- емкости, К5	мощно-сти, К6
I II III IV V VI Коэффициенты веса	1,0 1,0 1,0 0,87 0,85 0,88 0,210	0,798 1,0 0,93 0,96 0,97 0,78 0,195	0,92 0,65 0,924 0,91 1,0 0,75 0,174	1,0 0,92 1,0 0,915 0,90 0,967 0,157	1,0 0,94 0,98 0,99 0,7 0,8 0,124	0,77 0,92 0,95 0,85 0,82 1,0 0,140

Проведите ранжировку проектов технических систем по комплексному критерию.

Задание 21. Абсолютные показатели качества двигателей различных вариантов приведены в следующей таблице:

Варианты двигателей	Показатели качества
	Мощность, л.с.	Крутящий момент,	Масса, кг
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Коэффициенты веса	180 176 176 181 177 180 175 176 180 179 0,4	67 70 68 67 68 66 69 67 68,2 38,5 0,24	850 1000 860 820 860 800 900 850 880 870 0,36

Найдите оптимальный вариант двигателя.

Задание 22. Показатели эффективности работы предприятий приведе­ны в следующей таблице:

пред­приятия	Показатели эффективности работы предприятий
	прибыль, д. е.	себестоимость единицы продукции, д. е.	доходы, д. е.	фондо­отдача, у.е.	произво­дитель­ность, у.е.
I II III IV V VI Весовые коэффи­циенты	30,0 25,0 40,0 28,0 15,0 50,0 0,32	40,0 20,0 45,0 30,0 12,0 30,0 0,23	20,0 30,0 54,0 35,0 20,0 40,0 0,15	0,2 0,3 0,1 0,4 0,25 0,21 0,20	300 200 250 160 280 120 0,10

Выберите наиболее эффективно работающее предприятие.

Задание 23. Рассмотрим следующую платежную матрицу (матрицу до­ходов):

Вероятности состояний природы {S_j} неизвестны. Определите оптимальную стратегию R_i используя критерии Лапласа и максимина. Сравните полученные решения.

Задание 24. Сравните решения в задаче 9.6 при использовании критериев Сэвиджа и Гурвица (положите = 0,4).

Задание 25. Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения: 150; 200; 350. Производственные затраты С_i для i станка задаются следующей формулой

Данные P_i и с_i, приведены ниже в таблице:

Показатели	Модель станка
	1	2	3	4	5
Pi сi	30 14	80 6	50 10	160 5	100 4

Решите задачу для каждого из следующих критериев: Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (положите = 0,6). Полученные решения сравните. Задание 26. При выборе стратегии R_j ( ) каждому возможному состоянию природы S_i ( ) соответствует один результат (исход) V_ji ( ). Элементы V_ji, являющиеся мерой потерь принятии решения, приведены ниже в таблице (д. е.):

Стратегии	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4
R1 R2 R3	2 3 5	6 9 1	5 1 6	8 4 2

Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при = 0,5).

Задание 27. Намечается крупномасштабное производство легковых ав­томобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля R_j (j= ). Определена экономическая эффективность V_ji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истече­нии трех сроков S_i (i = ) рассматриваются как некоторые состо­яния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следу­ющей таблице (д. е.):

Проекты	Состояние природы
	S1	S2	S3
R1 R2 R3 R4	20 25 15 9	25 24 28 30	15 10 12 20

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гур­вица при = 0,1. Сравните решения и сделайте выводы.

Задание 28. Определите тип электростанции, которую необходимо по­строить для удовлетворения энергетических потребностей комплек­са крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры:

R₁ - сооружается гидростанция;

R₂ - сооружается теплостанция;

R₃ - сооружается атомная станция.

Экономическая эффективность сооружения электростанции за­висит от влияния случайных факторов, образующих множество со­стояний природы S_i (i = ).

Результаты расчета экономической эффективности приведены в следующей таблице:

Стратегии	Состояние природы
	S1	S2	S3	S4	S5
R1 R2 R3	40 60 50	70 50 30	30 45 40	25 20 35	45 30 60

Задание 29. Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции технического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством обслуживаемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предлагаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных автомобилей в действительности). В зависимости от принятого решения — проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) R_j и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО - построена нижеследующая таблица ежегодных финансовых результатов (доход, д. е.):

Проекты СТО	Прогнозируемая величина удовлетворяемости спроса
	0	10	20	30	40	50
20 30 40 50	-120 -160 -210 -270	60 15 -30 -80	240 190 150 100	250 380 330 280	250 390 500 470	250 390 500 680

Определите наилучший проект СТО с использованием критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при = 0,5).

Задание 30. Найдите седловую точку и значение игры для двух следующих игр. Платежные матрицы имеют вид:

Задание 31. Определите области значений х, для которых стратегия А₂ и В₂ будут оптимальными в следующих играх:

Задание 32. Определите, будут ли значения следующих игр бол! меньше или равны нулю:

В заданиях 33 - 9.30 решите игру с платежной матрицей.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47.

Тесты для самоконтроля:

1.По мере снижения рисков, которые несет на себе ценная бумага:

1. падает ее ликвидность

2. растет ее доходность

3. растет ее ликвидность и падает ее доходность

2.Основными показателями, влияющими на повышение эффективности портфеля ценных бумаг организации, являются:

А. срок вложения

Б. доходность

В. риск

Г. размер вложения

Д. все перечисленное выше

3. Высший рейтинг по степени надежности ценных бумаг в соответствии с классификацией Moodtfs Investors Service – это:

А. Саа

Б. Ваа

В. Ааа

3. Показатель уровня риска, используемый для расчета минимального (требуемого) уровня прибыльности и определяющий зависимость между общерыночными прибылями по всем акциям на бирже и доходностью конкретных акций, – это:

А. коэффициент «курс – прибыль»

Б. коэффициент ликвидности

В. коэффициент β

Г. коэффициент вариации

3. Риск – это:

А. вероятность наступления события, связанного с возможными финансовыми потерями или другими негативными последствиями

Б. результат венчурной деятельности

В. опасность возникновения негативных последствий, связанных с производственной, финансовой и инвестиционной деятельностью

3. Элементами классификации рисков по уровню финансовых потерь являются:

А. допустимый риск

Б. внешний риск

В. налоговый риск

Г. простой риск

Д. прогнозируемый риск

Е. критический риск

Ж. катастрофический риск

3. К методам управления рисками относятся:

А. самострахование

Б. хеджирование

В. диверсификация

Г. сертификация

3. Дисперсия характеризует:

А. уровень ликвидности

Б. степень колеблемости изучаемого показателя по отношению к его средней величине

В. частоту получения ожидаемого результата по финансовой операции

3. Финансовые риски относятся к:

А. чистым рискам

Б. спекулятивным рискам

3. Диверсификация – это:

А. метод минимизации убытков

Б. метод возмещения убытков

3. Расширение сферы деятельности организации на различных направлениях с целью минимизации рисков – это:

А. стратификация

Б. диверсификация

В. сертификация

Г. унификация