Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.
Понятие о фразовом пространстве ДУ
В
Евклидовом пространстве с прямоугольными
координатами
…
решение
системы :
= (t) = (t)
= 
(t,
,…,
)
(i=1
, .., n)
(7.1)
скорость
точки
; 
… 
При интегрировании (7.1)
= F
(t,
x)
(7.1a)
Динамическая система (7.1) определенная в заданный момент времениtв пространстве ,…, поле скоростей
Если векторно – функциональная зависимость явно то t векторные траектории могут не пересекаться
Если f не зависит от t , то поле скоростей стационарно.
Рассмотрим t как параметр полученный на фазе имеющей семейство окружностей с центром в начале координат
= F(t,
x)
(7.1a)
Фиксируя получим определенную траекторию
Причем различные присущи различным движениям
Фаза траектории состоит из 1 точкиО которая называется точкой покоя (7.2)
Устойчивость по Ляпунову
При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление , так как мы не учитываем факторы незначительновлияющие на процесс.
Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику
Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно
Пусть некоторое явления описываются системой ДУ :
= 
(
t, 
)
(
)
=
o
(i=
)
(7.3)
Если
решение 
не
только устойчивое но и удовлетворяет
условию:
lim
│
(t)
- 
=0
(7.5)
t ∞
│
(
)
- 
│<
>0
-
асимптатичная устойчивость
Заметим
, что из условия (7.5) не следуете
устойчивость решения 
=
)
Из устойчивости решения не следует- его асимптатичности
Исследование на устойчивость решения системы (7.3) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения
Тогда система (7.3)
=
(t)
(i
=
=
(t)
(i
= 
(7.6)
= 
+
(t,
+
(t),
+
,…,
+
(t))
(7.7)
Решение = (t) уравнения (7.7), которое мы исследовали на устойчивости в силу замены = - I (t) соответствует тривиальному решению (7.7)
Поэтому мы будем исследовать на устойчивости точку покоя, расположенную в начале координат.
Условия устойчивости точки покоя : =0 (i= )
Устойчивость в смысле Ляпунова если для каждой ε 0 можно подобрать δ; (ε) такое, что
То
есть траектория начальная точка
которой находится в точке 
окрестности начальной координаты при
t
T
не выходит за пределы ε – окрестности
начальной координаты.
Типы точек покоя. Узел, седло.
Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя: x=0, y=0
Система 2-ух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
(7.8)
0
Ищем решение в виде
x=
y=
Для получения корней характеристического уравнения :
= 0
-
(
+
)k
+ (-
+ 
)
= 0
с точностью до постоянного множителя
определяемого из одного из уравнений
(7.9)
Рассмотрим следующие случаи :
УЗЕЛ:
R
;
R
(7.10)
и
При k= и при k=
и произвольная постоянная
< 0 < 0
X=0 y=0
Асимптатично
устойчивы
Так как точки лежащие в любой δ – окрестности начальные координаты при достаточно большом tпереходе в точке лежащей в ε – окрестности начальной координаты
На рисунке (7.1) изображено расположение траектории для точки покоя данного типа – устойчивый узел.
СЕДЛО
0
<
0
x=
y=
(7.11)
Однако существует движение приближенное к началу координат :
x=
y
= 
y=
x
Движение
(7.11) проходит по прямойy=
x
t
∞
t
-∞
Точка покоя такого вида называется Седлом