Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида:
(
+
(
+
(
=
z(
(8.1)
Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z.
Если
правая часть 
0
а коэффициент
не
зависит от z,
то уравнение
(8.1) называется линейно однородным
Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными
P
(x, y, z) 
+ Q (x, y, z) 
= R (x, y, z) (8.1a)
Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно
Рассмотрим
непрерывное поле 
:
=
P
(x,
y,
z)
+ Q
(x,
y,
z)
1
+ n
(x,
y,
x)
Векторные линии поля, то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления
=
dx
+ 
dy
+ 
dz
,
- 
= 
Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью
Векторные
поверхности характерны тем, что вектор
направлен по нормали к поверхности.В
точке поверхность ортогональна полю
,
то есть :
( * ) =0 (8.2)
Если векторная поверхность
+ 
-
и условие (8.2) принимает вид :
P (x, y, z) * + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.3)
Если векторная поверхность задаётся:
U (x, y, z) = 0
+
- 
И уравнение (8.2) приобретает вид :
P
(x,
y,
z)
*
+ Q
(x,
y,
z)
+ R
(x,
y,
z)
= (8.4)
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий
То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий
Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий :
-
= 
(8.5)
Выделяя из 2-ух параметрических семейств векторных линий
Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства
Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф ( ) = 0 тогда параллелограмм и
Исключение из системы :
Ф- произвольная функция (непрерывная)
Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции
Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля
= P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z)
А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением
То функция (8.6) уже не будет произвольной , определяемая присутствием исключенийx, y, z из системы
(x,
y,
z)
=
(x, y, z) =
Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0 , =0
Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :
Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0
(x, y, z) = 0 является характеристикой , т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.