Типы точек покоя. Фокус, центр.

Корни характеристического уравнения

= P q 0

(7.12)

Здесь возникли следующие случаи

ФОКУС

= P p<0 q 0

p<0

Второй множитель ограничен

p=0 - траекторией замкнутых кривых

(p<0)

Превращающееся замкнутые кривые в спирали асемптатично приближены к началу координат

Фокус отличается от узла тем, что касательные к траектории не стремятся ни к какому приделу при t ∞

ЦЕНТР

= P p 0

q 0

Этот случай переходит в предыдущий при замене tна –t

Поэтому траектории те же но движение в другую сторону

Точка покоя не устойчива - не устойчивый фокус

Траектория – замкнутые кривые , содержащие внутри себя точку покоя называется центром рисунка (7.4)

Она устойчива, но асимптатичной устойчивости нету

Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных.

Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :

y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) (5.1) - ЛНДУ

(x) , (x) С (a, b) - непрерывная функция

y’’ + (x) y’ + (x) y = 0 (5.2) - соответствующее однородное уравнение

Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ

Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения

=

y = (5.3)

Доказательство:

y = +

y’ = ( ) ‘ + ’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’ + (x) ( )’ ’ + (x) ( + ) = f (x)’

( ) ‘’ + (x) ( )’ + (x) ( ) + + (x) + (x) ) + ( ’’ + (x) ’ + (x) =f(x,y)

y= + (5.4)

Для этого нужно доказать , что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решениеудовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)

y ( ) = y ‘( ) = (5.5)

= W 0

! ,

Метод Лагранжа(Вариации произвольных постоянных)

Для нахождения общего решения (5.1) необходимо найти частное решение .

Его можно найти из общего решения уравнения (5.2) некоторых вариаций произвольных постоянных

= + (5.6)

= + + +

= + + +

Подставим в (5.1)

+ + + + (x) + + (x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

= W (x) 0

= (x)

= (x)

Интегрированием найдем и

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

( ) ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + ( ) ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме.

Для решения многих задач в математике , физике , техники , биологии не редко требуется несколько функций

Нахождение этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям образующих систему

Системой ДУ – называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимые непеременные,искомыефункции и их производные

Общий вид системы ДУ 1-го порядка содержат n искомых функций :

Система ДУ 1-го порядка решают относительно производных, то есть система вида :

= (x, )

= (x, )

Число уравнений= числу искомых функций

Часто система уравнения и система уравнения высшего порядка можно привести к нормальным системам вида (6.1)

Уравнение 3- го порядка

y’’’ = f ( x , y , y’ , y’’)

Путем замены :y’ = py’’ = q

Решение системы (6.1) называется совокупностью из n функций : удовлетворяет каждому уравнению из этой системы. Вначале условия для (6.1) имеют вид:

( ) = ( ) = ….. , ( ) = (6.2)

Задача Коши для (6.1) :

Нужно найти решение системы (6.1) удовлетворяющее условию (6.2)

Общее решение (6.1) имеет вид :

= (x, )

= (x, )

Решение получившиеся из общего из конкретного значения const … называются частными решениями системы (6.1)

Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида:

где коэффициенты - постоянные, - искомые функции от t.

Систему (11) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения где