Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения к одному ДУ высшего порядка. Он основывается на следующих положениях :
Возьмем из (6.1) 1-ое уравнение и продифференцируем:
= 
+ 
*
+ … + 
* 
Подставим значение производной:
, 
, … , 
+
+…+
Продифференцируем это равенство еще раз и заменив их производную выразим систему (6.1)
= 
+ 
*
+…+ 
*
=
(x,
,…,
)
Соберем полученное уравнение в системе :
=
(x,
,
,…
)
=
(x,
,
…
)
(6.3)
=
(x,
,
,…
)
Из
первых (n-
1) - го уравнений системы (6.3) выразим
функцию
,
,…
Через
x
: x,
…
,
= 
(x,
,
’,
…
),
= 
(x,
,
’,
…
)
(6.4)
Найдем значение … подставим в n-ое уравнение (6.3) и получим уравнение n-го порядка
= φ(x,
,
’,
…
),
=
(x,
…
)
Продифференцируем
(n
– 1) раз и подставим значения производных
’,…,
в уравнении (6.4)
Найдем
функцию:
= (x, … )
=
(x,
…
)
Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Общий вид ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :
y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)
Пункт 4.1. Интеграция ДУ 2-го порядка с носителем коэффициента
В частном случае, в рассмотренном выше линейных однородных уравненией является ЛОДУ 2-го порядка.
Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка (4.1) где p и q = const
Будем
искать его решения в виде y
= 
( Эйлер)
Подставим y = в уравнение (4.1) y’’ + py’ + qy = 0 получим
y‘=k
, y‘’=
+ pk + q = 0 (4.2)
+ pk +q = 0 (4.2 a)
Опред.: Уравнение (4.2 а) называется характеристическим для уравнения (4.1). При решении уравнения (4.2 а) возможны 3 случая:
1 Случай :
Корни
в (4.2 а) действительны и различны
к1,к2
R,
к1≠к2;
тогда функции y1
= 
= 
линейно независимы и образуют
фундаментальную систему решений
уравнения (4.1). В этом случае, общее
решение можно записать
в виде : y=
,
= const
2 Случай :
Корни
к1,к2
э
R,
.
Дискриминант, в этом случае, уравнения
(4.2а)=0. Имеем 1 решение :
= 
Покажем
, что функция
= 
будет также решением уравнения (4.1)
’
= 
+ 
=
(k1x
+ 1)
’’=
(
x
+ 
+
)
y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)
(
x
+ 
)
+ p
(
x
+ 1) + q
x
= 0
x
(
x
+ 
+q)
+
+ p
= 0
Поскольку
дискриминант = 0 
= 
=
является
решением уравнения (4.1)
Общее решение записывается в виде:
3 Случай:
Корни
=
α
+ 
=
α
- 
следовательно Д <
0
= 
=
По
формуле Эйлера: 
= cos
+ sin
= 
(
cos
x
+ i sin 
x)
= ( cos x - i sin x)
По теореме 3.1. решениями уравнения (4.1) также будут являться
= 
=
cos
x
=
=
sin
x
y
=
cos
x
+
sin
x
Таким образом, чтобы решить уравнение (4.1) нужно решить характеристическое уравнение (4.2 а) и выписать решение без интегрирований.
Пункт 4.2 Интегрирование ЛОДУ п –го порядка с постоянными коэффициентами
Задача
нахождения общего решения ЛОДУ n–го
порядка (n
2)
с постоянными коэффициентами 
+ 
+ 
+ …. 
y
= 0 (4.4), где 
R,
решается аналогичного случаю уравнения
2 – го порядка. Выписывается
характеристическое уравнение
+ 
+ 
+ ….+
= 0 (4.5) и находится n
его корней, в том числе и комплексных
.
Корни могут совпадать при кi
= kj
Пример
: 
= 0 имеет 3 одинаковых корня. В этом случае
кратноcть
корня
= 3. Если кратность 
= 1 , то кi
называется простым
корнем
Cлучай1:
Все
корни уравнения (4.5) 
и не равны друг другу. Тогда общее
решение записывается:
y=
Случай 2:
Все корни , но есть и кратные. Тогда корню к, кратности m соответствует линейно независимое решение
y
= 
Случай 3 :
Среди
корней есть комплексно сопряжённые,
тогда любой паре α
простых
корней соответствует пара решений :
cos
x
sin
x
. Каждой паре α
кратности М, соотв. 2М-реш. 
cos
x
;
sin
x
, … ,
sin
x