Уравнение Лагранжа.

) и дифф. по х получим

(2.13)

(2.14) – это уравнение будет линейным по отношению к х и и легко интегрир., например, методом вариации произвольной постоянной.

Получив интеграл Ф(х,р,с) =0 уравнение (2.14) получим уравнение опред. искомые интегр. кривые. При делении на мы потеряли реш., если они сущ., для которых р постоян., а значит

Если p=const, то уравнение (2.13) удовлетворяет только в случае, если

Если уравнение имеет действительные корни, то к найденным решениям надо ещё добавить p=p_i

; p=p_i ; , p=p_i ; . Отдельно нужно рассматривать случай, когда и сл-но при делении на теряется решение р=с , где с – произв. постоянная. В этом случае тогда

Уравнение Клеро.

( ; ) уравнение Клеро

; Дифференцируем и получаем: откуда => => p=c

В первом случае, исключив р получаем: (2.15) - однопараметрическое семейство интегральных прямых. В другом случае, решение определяется уравнениями: (2.16)

При чём, уравнение (2.16) называется огибающей семейства прямых (2.15)

Теорема существования и единственности решения

Уравнение

Со времен Эйлера дифференциальные уравнения приближённо решали численными методами. Это связанно с тем, что лишь немногие уравнения интегрируются в квадратурах. В связи с развитием компьютерной техники становится проще решать уравнения с заданной точностью. Однако, для численного решения нужно быть уверенным в существовании решения и его единственности. Для уравнения достаточным условием существования и единственности решения даны в след. теореме

Теорема 2.1:

Пусть в уравнение (2.17) функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D

D: _x0 – a_<=x_<=x0 +a

_y0 – b<=y_<=y0 +b

И удовлетворяет условию Липшица:

(условие Липшица) , где N= const , тогда существует единственное решение y= (x), H +H. Удовлетворяет условию y ( )= , где H<min (a; ; ) ; M – max f (x, y) в D

Уравнение Бернулли.

Делают замену Z = дифференцируя получим

(1 – n ) и подставляя в (2.7) получим линейное уравнение

+ p (x) z = f (x)

Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

   Найти u (x₁ ,.., x_n), удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

которая при фиксированном значении одной из независимых переменных обращается в заданную функцию от остальных переменных.

(6)  при x_n = x_n⁰   u = H (x₁ ,.., x_n -1).

Общее решение дифференциального уравнения (1)   u = Φ(ψ₁ ,.., ψ_n -1).

Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее н.у.(6). Для этого воспользуемся 1^ми интегралами (5)

системы (2)

, положив в них x_n = x_n0 :

Эта система разрешима в окрестности точки  (x₁⁰ ,.., x_n⁰) относительно x₁ ,.., x_n -1 :

Подставим полученные соотношения x_i в начальное условие   u = H(x₁ ,.., x_n -1 )  ( H - известная функция) ; так как   u = Φ(ψ₁ ,.., ψ_n -1), то при подстановке (**) получим:   u = Φ (c₁ ,.., c_n -1) = H [ φ₁ (c₁ ,.., c_n -1 ),.., φ_n -1 (c₁ ,.., c_n -1) ] ;  (где Φ-неизвестная), т.е. мы получили общий вид функции   Φ(α₁ ,.., α_n -1) ; так как общее решение уравнения (1) определяется как   Φ(ψ₁ ,.., ψ_n -1), остается вместо с_i подставить интегралы  ψ_i :

u ( x₁ ,.., x_n -1 ) = Φ(ψ ₁ ,.., ψ_n -1) = H [ φ₁ (ψ₁ ,.., ψ_n -1 ),..,φ_n -1 (ψ₁ ,.., ψ_n -1) ] 

Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка.

Определение. Уравнение вида F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид: где F − непрерывная функция указанных аргументов.

Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка.

Случай 1. Уравнение вида F(x, y (k), y (k+1),..., y (n)) = 0

Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены

порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x) находится последующим k-кратным интегрированием.

Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т.е. имеет вид то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены y' = p(x).

Случай 2. Уравнение вида F(y, y', y'',..., y (n)) = 0

Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены y' = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом: Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x).

Случай 3. Однородное уравнение F(x, y, y', y'',..., y (n)) = 0

Уравнение F(x, y, y', y'',...,y (n)) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y', y'',...,y (n), если выполняется тождество Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки где z(x) − новая неизвестная функция.

После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C1 − произвольное число.

Случай 4. Функция F(x, y, y', y'',..., y (n)) является точной производной

В некоторых случаях левую часть F(x, y, y', y'',...,y (n)) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка: Тогда решение исходного уравнения записывается в виде