Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное
уравнение первого
порядка y' = f(x,y) называется уравнением
с разделяющимися переменными,
если функцию f(x,y) можно
представить в виде произведения двух
функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) −
непрерывные функции.
Рассматривая
производную y' как
отношение дифференциалов 
,
перенесем dx в
правую часть и разделим уравнение
на h(y):
Разумеется,
нужно убедиться, что h(y)
≠ 0. Если найдется число x0,
при котором h(x0)
= 0, то это число будет также являться
решением дифференциального уравнения.
Деление на h(y) приводит
к потере указанного решения.
Обозначив 
,
запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C −
постоянная интегрирования.
Вычисляя
интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.
Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями , рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
+ 8 
=0
+ 2 
=0 ∞ <x<
+∞ 0 <t<
∞
(x,
0) = f(x)
(x,
0) = d(x)
Эта задача может соответствовать определению давления и плотности , как формула uпространствует координатам xи времени t
(x, 0) = f(x) - давление
(x, 0) = d(x) - плотность
x- координат
t – время
Запишем систему уравнений в матричной форме
+ 
= 
+ A
= 
(8.7)
A
= 
= 
= 
=
Введение
новой неизвестной функции v
= 
с помощью преобразования u
= pv,
где p-
матрица , по столбцам которой стоят
собственные векторы матрицы А.
Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :
det (A –λ E)=0
или
= 0 
– 16 = 0 
= 4 
= - 4
Найдём
собственный вектор 
соответствующий собственному значению
=
4 из
системы
(A – E) ( ) = 0
= 
=1
=2 =>
P=
= - 4
= 
= 1,
= - 2
P=
* 
= 
det
p=
4
AP
= 
= 
= 
= B
после
того по формуле pv
находится искомая формула 
система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем :
= p
= p
(8.8)
Теперь подставим соотношения (8.8) в системе :
+ A = 0
+ A│
= 0 │*
+
A
=0
+ B
=
0 (8.9)
Заменим (8.9) в развернутой форме :
(8.10)
Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут :
= 
x-
4t = 
= ϕ (x-4t)
: 
= 
x-+4t
= 
= ϕ
(x+4t)
Для
получения общего решения нужно
выполнить по формуле : u=pv
= 
=
(x,
t)
= 
(x,
t)
= 
Замечание : часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений , а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка.