Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим
еще 1 метод интегрирования системы
(6.1) 
в случае когда она представлена
системой линейного ДУ с носителем
коэффициента , то есть :
= 
= 
При y=3
= 
= 
= 
j
(i, j= 
)
= const
=
α
=
β
=
γ
(6.6)
α ,β ,γ, k – const , который надо подобрать так , чтобы функция (6.6) удовлетворяла (6.5)
Подставим (6.6) в (6.5)
αk
= 
α
+ 
β
+ 
γ
βk
= 
α
+ 
β
+ 
γ
γk
= 
α
+ 
β
+ 
γ
α ( -k) + β + γ =0
α+ β( -k) + γ =0
α + β + ( -k) γ=0
=0
Уравнение (6.8) - характеристическое уравнение (6.5)
Раскрыв определитель получим уравнение 3 степени относительно к :
Возможны 3 случая :
Случай :
корни характеристического уравнения действительны и различны
,
Є R
(i=
)
Один из коэффициентов может считаться = 1
Для
корня 
системы
частное решение :
:
= 
* 
=
=
:
= 
* 
=
=
:
= 
*
=
=
Можно показать, что эти функции создают фундаментальную систему :
=
+ 
+
=
+
+
=
+
+
Случай :
Корни характеристического уравнения различные и среди них есть комплексные
= a+ ib
= a-ib
R
+
+ 
x
+ 
=0
Вид частного решения в этой системе определяется также как и в случае 1
Замечание : вместо полученного частного решения можно взять их линейные комбинации
cosbx
,
sin
bx
Корень a- ib не дает новых решений
Характеристическое уравнение имеет корень k ;
Кратность m (m =2,3)
а)
m=
2
= (A
+ 
)
= (C
+
)
= (E
+
)
m=3
= (A
+ 
)
= (D
+ 
)
= (G
+ 
)
Это решение зависит от ’m’ производной постоянныхA, B, C ,…, N определяемых методом неопределенного коэффициента
Выразить все коэффициенты через ’m’полагается один из них равен1, aостальные =0
Получится ’m’ линейно независимое частное решение системы (6.5)
Интегрирование линейных уравнений при помощи степенных рядов
Пусть дано уравнение :
y’’ + p(x)y’ +q(x)y=0 (9.1)
в котором коэффициенты p(x) и q(x) являются голоморфными функциями в окрестности (*) x= то есть
P(x)
= 
q(x)=
Причем
ряды справа сходятся в области
│x-
│<
Теорема
(9.1)
Если функцииp(x)
иq(x)
голоморфны в области 
x-
│<
, то
существующее единственное решение
(9.1) голоморфно в той же области
y= , y’ = ’ при x=
Где и ’ - произвольные заданные числа то есть решение вида :
y=
+
’
(x-
)
+ 
x- │< (9.3)
В приложениях чаще всего встречаются случаи , когда коэффициент уравнений (9.1) является либо полиномами , либо отношениями полиномов
В непрерывном случае мы получаем решение в виде степени ряда
Во втором случае радиус сходит степени ряда представим решение не меньше расстояния они (*) x= до ближайшей известной точек в координате знаменатель коэффициента рассматривается как формула комплексныхпеременных обращенная в ноль
Коэффициент
в формуле (9.3) определяется единственным
образом : если заданы
и
’
Их можно определить подстановкой ряда (9.3) в уравнение (9.1) и приравнивание к нулю коэффициенты при разделении степени x= в левых частях получится равенство.