Лабораторная работа №5. Решение задач математического программирования в Excel
Теоретическая часть
Примеры задач математического программирования
Задача об использовании сырья.
Предположим, что для изготовления продукции четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4 требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Запасы ресурса каждого вида ограничены. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, запасы ресурсов, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Исходные данные задачи об использовании сырья
-
Ресурс
Прод1
Прод2
Прод3
Прод4
Наличие
Прибыль
60
70
120
130
--
Трудовые
1
1
1
1
16
Сырье
6
5
4
3
110
Финансы
4
6
10
13
100
Требуется составить такой план выпуска продукции всех типов, при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.
Математическая модель задачи имеет вид:
, (1)
где xj – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – линейная функция цели, представляющая собой доход, получаемый предприятием; три линейных неравенства составляют систему ограничений задачи.
В левых частях неравенств указаны величины расхода ресурса при выпуске продукции, а правые части показывают количество имеющегося ресурса, т.е. его ограниченные запасы. Расходы ресурсов при выпуске продукции не должны превысить имеющиеся запасы, поэтому неравенства имеют знак ≤.
Таким образом, смысл задачи о распределении ресурсов таков: среди неотрицательных решений xj системы (1) выбрать такое, при котором функция цели F принимает наибольшее значение (максимизируется).
Задача о составлении смеси.
Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ, например, белков, жиров, углеводов, воды и витаминов. Пусть эти вещества поставляются в двух видах пищи П1 и П2. Содержание полезных веществ в единице веса каждого вида пищи показано в таблице 2. Там же указаны минимальные суточные нормы питательных веществ, а также стоимости единицы веса пищи П1 и П2.
Таблица 2 - Исходные данные задачи о смеси
-
Питательные вещества
П1
П2
Норма
Стоимость единицы веса
60
70
--
Жиры
1
5
10
Белки
3
2
12
Углеводы
2
4
16
Вода
2
2
10
Витамины
1
0
1
Требуется так организовать питание, чтобы стоимость его (смеси или сочетания продуктов) была наименьшей, но человек получил бы не менее минимальной суточной нормы полезных веществ всех видов.
Пусть xj,
(
)
– потребляемое количество пищи видов
П1 и П2.
Тогда общая стоимость питания F равна
.
Содержание жиров в смеси двух продуктов составляет
и не должно быть меньше минимальной суточной нормы, равной 10. Это требование приводит к неравенству
.
Аналогично составляются неравенства для остальных питательных веществ.
Итак, математическая формулировка задачи о смеси имеет вид:
.
(2)
.