7.4. Парабола, та її властивості
Параболою
називають
множину всіх точок площини, кожна з
яких знаходиться на однаковій відстані
від даної точки
|
яка називається фокусом,
і від даної прямої, яка називається
директрисою
і не проходить через фокус.
Для
виведення канонічного рівняння параболи
розмістимо її фокус
на осі
,
а директрису – проведемо через точку
осі
паралельно до осі
так, щоб
(рис.
35).
Позначимо
тоді координати фокуса параболи
дорівнюють
а директриса має рівняння
Для
довільної точки
параболи, за означенням, виконується
рівність
де
відстань
від точки
до директриси.
Тоді, використовуючи формулу відстані між двома точками, останню рівність можна записати у вигляді:
рівняння
параболи.
Піднісши останню рівність до квадрату,
отримаємо канонічне рівняння параболи:
де
|
(2.55) |
параметр
параболи,
який характеризує "ширину"
області, що обмежує парабола.
Вісь
називають віссю
параболи,
точку
вершиною
параболи.
Ексцентриситет
параболи
Рівняння
|
задає параболу, яка є симетричною до
параболи (2.55) відносно осі
Знайти
координати фокуса та рівняння директриси
параболи, заданої рівнянням:
.
Схематично побудувати параболу.
Р
озв'язання.
Маємо
канонічне рівняння параболи (2.55), у
якому
тоді
координати фокуса параболи,
рівняння директриси параболи (рис. 36).
Для уточнення побудови параболи знаходять декілька допоміжних точок. Наприклад, при
при
при
при
|
Відповідь. фокус параболи, рівняння директриси параболи
7.5. Полярні і параметричні рівняння кривих другого порядку
Полярне
рівняння кола
з центром у початку координат і
радіусом
має
дуже простий вигляд:
Полярне рівняння кривої другого порядку, яка може бути еліпсом, параболою або правою віткою гіперболи має вигляд:
де полярний параметр кривої. Для
еліпса і гіперболи полярний
параметр дорівнює:
де
і
для параболи її параметр;
|
(2.56) |
параметри їх канонічних рівнянь;
ексцентриситет
кривої другого порядку.
1. Параметричне рівняння кола з центром у початку координат і радіусом має вигляд:
2.
Параметричне
рівняння еліпса
з центром у точці
і з півосями і має вигляд:
3. Параметричне рівняння гіперболи з центром у точці і з півосями і має вигляд:
|
(2.57)
(2.58)
(2.59)
|
де
де
де
гіперболічний
косинус,
гіперболічний
синус.