§ 2. Перетворення прямокутних координат на площині

При розв'язуванні задач спрощення рівнянь ліній іноді треба переходити від однієї прямокутної системи координат до іншої за допомогою формул перетворення координат.

2.1. Паралельне перенесення осей

Нехай маємо дві прямокутні системи координат і з різними початками координат і і однаково напрямленими осями (рис. 4).

У прямокутній системі координат точки і мають коорди- нати:

Тоді координати довільної точки у новій системі координат знаходять із формул:

(2.6)

Формули (2.6) називаються форму-лами перетворення координат при паралельному перенесенні осей.

Вони виражають координати точок в новій прямокутній системі через координати точок у системі координат .

Рис. 4.

2.2. Поворот осей координат

На площині задамо дві прямокутні системи координат і , які мають спільний початок координат, і нова система утворена за допомогою повороту осей системи на додатний кут (рис. 5).

Якщо у прямокутній системі координат довільна точка має координати тоді її координати в системі знаходять за формулами:

(2.7)

Формули (2.7) називаються формула-ми перетворення координат при повороті осей.

Рис. 5.

У прямокутній системі координат точка має координати Знайти її координати в системі , яка утворюється з системи поворотом на кут .

Розв'язання.

За формулами (2.7) маємо:

Відповідь.

§3. Поверхні та лінії у просторі.

Рівняння з трьома змінними виду: (2.8) називається рівнянням поверхні відносно заданої прямокутної системи координат, якщо це рівняння задовольняє координати будь-якої (кожної) точки цієї поверхні.

Рівняння еліпсоїда має вигляд

де параметри еліпсоїда (додатні числа).

Лінію у просторі можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, заданих рівняннями: та тобто: (2.9) Лінію у просторі можна задати за допомогою векторного параметричного рівняння: (2.10) якому відповідають скалярні параметричні рівняння:

Рівняння гвинтової лінії яка є, наприклад, зовнішньою кромкою різьби (рис. 6) має вигляд:

де характеристики гвинтової лінії (додатні числа).

Горизонтальною проекцією гвинтової лінії на площину є коло радіуса

§3. Циліндрична та сферична системи координат у просторі

Якщо в прямокутній системі координат замінити дві перші координати та полярними координатами а аплікату залишити без зміни, то отримаємо циліндричну систему координат (рис. 7).

Координати довільної точки у циліндричній системі координат записують у вигляді

Залежності між прямокутними координатами точки і її циліндричними координатами випливають із

формул:

(2.11)

де

У прямокутній системі координат візьмемо довільну точку . Через точку і вісь проведемо площину (рис. 8). Нехай відстань від початку координат до точки , двогранний кут між площинами і ,

кут між віссю і променем Упорядкована трійка чисел однозначно визначає положення точки у просторі.

Числа цієї упорядкова-ної трійки називаються сферичними координатами точки .

Залежності між прямокутними і сферичними координатами точки виражаються формулами:

(2.12)

де