4.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих

1) Нехай прямі і задані загальними рівняннями (2.14).

тоді

тоді

Кут між прямими і дорівнює куту між векторами і (рис. 12).

Використовуючи рівність отримаємо формулу для знаходження кута між прямими і , які задані загальними рівняннями:
	(2.22)
звідки умова паралельності прямих і ; умова перпендикулярності прямих і

2) Нехай прямі і задані канонічними рівняннями (2.15).

тоді

тоді

Кут між прямими і дорівнює куту між їх напрямними векторами і (рис. 12). Аналогічно до попереднього випадку, отримаємо

формулу для знаходження кута між прямими і , які задані канонічними рівняннями:
	(2.23)
звідки умова паралельності прямих і ; умова перпендикулярності прямих і

3) Нехай прямі і задані рівняннями із кутовим коефіцієнтом

де

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута її нахилу до осі тоді кут між прямими і , які задані рівняннями із кутовими коефіцієнтами і знаходять із формули:
	(2.24)
звідки умова паралельності прямих і ; умова перпендикулярності прямих і

4.4. Формула відстані від точки до прямої на площині

Відстань від точки до прямої (рис. 13), заданої загальним рівнянням , обчислюють за формулою:
	(2.25)

Зразок виконання контрольного завдання №1.

Дано вершини трикутника

Знайти: 1) рівняння сторін та їх кутові коефіцієнти;

2) кут

3) рівняння медіани та висоти, проведених з вершини

4) відстань від точки до сторони трикутника.

Розв'язання.

У трикутнику : медіана , висота, довжина перпен-дикуляра дорівнює відстані від вершини до сторони (рис. 14).

1) Канонічне рівняння сторони знайдемо за формулою (2.18):

канонічне рівняння прямої

За властивістю пропорції:

рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом

Аналогічно, за формулою (2.18), знайдемо канонічне рівняння сторони

канонічне рівняння прямої

За властивістю пропорції:

рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом

Аналогічно, за формулою (2.18), канонічне рівняння сторони має вигляд:

канонічне рівняння прямої

За властивістю пропорції:

рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом

Відповідь. канонічне рівняння прямої

канонічне рівняння прямої

канонічне рівняння прямої

2) Кут знайдемо за формулою (2.23), як кут між прямими і які задані канонічними рівняннями і відповідно.

Напрямні вектори прямих і мають вигляд: тоді за формулою (2.23):

звідки

Відповідь.

Кут між прямими і можна знайти за формулою (2.24), використовуючи значення кутових коефіцієнтів і

3) Нехай медіана трикутника , тоді за формулою знаходження координат середини відрізка: тобто

За формулою (2.18), знайдемо канонічне рівняння медіани

Нехай висота трикутника Знайдемо рівняння із кутовим коефіцієнтом висоти яке має вигляд

За умовою (2.24) перпендикулярності прямих отримаємо: звідки

Тоді рівняння висоти має вигляд і задовольняє координати точки

звідки

Отже, рівняння із кутовим коефіцієнтом висоти

Відповідь. рівняння медіани

рівняння висоти

4) Довжину перпендикуляра яка дорівнює відстані від вершини до сторони (рис. 14) знайдемо за формулою (2.25). Для цього запишемо загальне рівняння (14) сторони , використавши її знайдене канонічне рівняння:

загальне рівняння сторони .

За формулою (2.25):

Відповідь. Відстань від вершини до сторони дорівнює