5.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин

Нехай дві площини і задані загальними рівняннями (2.27):

тоді

Позначимо кут між площинами і , тоді очевидним є те, що кут між вказаними площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами і (рис. 17).

Косинус кута між векторами, які задані власними координатами, можна знайти, зокрема, за формулою (18) стр. 22 навчального видання "ВИЩА МАТЕМАТИКА. Модуль 1. Елементи лінійної та векторної алгебри":

Кут між двома площинами і , заданими загальними рівняннями обчислюють за формулою: (2.30)

Із формули (2.30) випливають умови паралельності та перпендикулярності площин.

Умова паралельності площин і , заданих загальними рівняннями (вектори і – колінеарні): (2.31) Умова перпендикулярності площин: , ( ): (2.32) Умова, при якій площини і накладаються (збігаються): (2.33)

5.4. Формула відстані від точки до площини

Із точки проведемо перпендикуляр

де

Відстань від точки до площини , заданої загальним рівнянням обчислюють за формулою:
	(2.34)

З найти висоту піраміди якщо відомі координати її вершин:

Розв'язання.

За формулою (2.29) складемо рівняння площини :

рівняння площини .

За формулою (2.34) висота піраміди довжина якої є відстанню від точки до площини (рис. 19), дорівнює:

Відповідь.

§6. Пряма лінія у просторі.

6.1. Різні види рівнянь прямої в просторі

Нехай пряма у просторі проходить через точку і паралельна до ненульового напрямного вектора (рис. 20).

Позначимо довільну точку прямої ( змінні). Колінеарні вектори і мають пропорційні коорди-нати. Ця умова і є канонічним рівнян-ням прямої у просторі.

1) Канонічне рівняння прямої у просторі, яка проходить через точку і паралельна до ненульового напрямного вектора має вигляд: (2.35) 2) Нехай тоді, записавши векторну рівність у координатній формі, отримаємо параметричні рівняння прямої у просторі: (2.36) де змінний параметр. 3) Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки і має вигляд: (2.37) У даному випадку напрямним вектором прямої є вектор .

Рівняння прямої у просторі, яка проходить через точки і , має вигляд:

4) Якщо дві площини і задані загальними рівняннями (2.27): тоді пряму можна задати як пряму перетину двох площин (рис. 21): (2.38) Рівняння (2.38) називають загальними рівняннями прямої у просторі.

Щоб від загальних рівнянь (2.38) перейти до канонічного рівняння (2.35), потрібно знайти точку на прямій і її напрямний вектор . Для знаходження точки одну із її координат, наприклад , вибирають довільною, а інші визначають із системи (2.38), підставивши в неї

Напрямний вектор знаходять як век-торний добуток нормальних векторів до площин і (рис. 21):

.

Знайти канонічне рівняння прямої:

Розв'язання.

Нехай точка належить даній прямій. Підставимо у дані загаль-ні рівняння:

Напрямний вектор

Канонічне рівняння прямої: або