§7. Лінії другого порядку на площині

Множина точок площини, координати яких задовольняють рівняння виду: (2.41) де дійсні числа, і хоча б одне із чисел не дорівнює нулю, тобто утворює лінію другого порядку. До ліній II–го порядку належать: коло, еліпс, гіпербола, парабола. Множиною точок , які задовольняють рівняння (2.41), також можуть бути дві прямі, одна пряма. Рівняння (2.41) може визначати тільки одну точку або не визначати жодної точки на площині.

Лінії II–го порядку (коло, еліпс, гіперболу або параболу) називають також конічними перерізами, бо їх можна отримати як лінії перетину кругового конуса з площиною. Коло утворюється як лінія перетину площини, яка перепендикулярна до осі конуса і не проходить через його вершину (рис. 26, а); еліпс – лінія перетину площини, яка перетинає всі твірні конуса, не перпендикулярна до осі конуса і не проходить через його вершину (рис. 26, б); гіпербола – лінія перетину двопорожнинного конуса площиною, яка перетинає обидві його порожнини (рис. 26, в); парабола – лінія перетину площиною, паралельною одній твірній конуса (рис. 26, г).

a

б

Рис. 26. Конічні перерізи (а – коло, б– еліпс).

в

г

Рис. 26. Конічні перерізи (в – гіпербола, г– парабола)

7 .1. Коло, та його рівняння

Коло – множина точок площини, відстані яких від заданої точки (центра кола) дорівнюють сталому числу (рис. 27).

Рівняння кола виведені у шкільно-му курсі геометрії:

Рівняння кола з центром і радіусом має вигляд: (2.42) Канонічне рівняння кола з центром і радіусом : (2.43)

Загальне рівняння кола (отримане із 2.41 без доданка ): , (2.44) де дійсні числа.

7.2. Еліпс, та його властивості

Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок і які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами: де довільна точка еліпса (рис. 28).

Для виведення канонічного (тобто найпростішого) рівняння еліпса розмістимо його фокуси і на осі Позначимо , тоді

Довжина відрізка називається фокальною відстанню еліпса.

Для довільної точки еліпса (яка не лежить на осі ) позначимо тоді з : звідки

За означенням еліпса:

рівняння еліпса.

Піднісши два рази останню рівність до квадрату, і позначивши:

,	(2.45)
отримаємо канонічне рівняння еліпса:	(2.46)

Із позначення (2.45) отримаємо: Тоді, аналізуючи формулу (2.46), можна зробити висновок, що еліпс симетричний відносно осей та (головних осей еліпса), а також відносно точки яку називають центром еліпса.

Точки називаються вершинами еліпса, відрізок велика вісь еліпса (ВВЕ), відрізок мала вісь еліпса (МВЕ) (рис. 28).

Якщо у рівнянні (2.46) то отримаємо рівняння кола.

Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною яка називається ексцентриситетом еліпса і обчислюється за формулою: (2.47) причому для еліпса: бо Із формул (2.45) і (2.47) випливає рівність: (2.48)

Відстані називаються фокальними радіусами і для них виконується рівність за означенням еліпса.

Директрисами еліпса називаються вертикальні прямі, задані рівняннями (рис. 28): (2.49)

Позначивши відстані від довільної точки еліпса до директрис за допомогою отримаємо рівність:

Знайти координати фокусів та ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням: . Схематично побудувати еліпс.

Розв'язання.

Маємо канонічне рівняння еліпса (2.46), у якому

Для знаходження координат фокусів і знайдемо величину із формули (2.45):

тому точки фокуси еліпса.

Екцентриситет еліпса знайдемо за формулою (2.47):

Для побудови еліпса на координатній площині зобразимо допоміжний прямокутник із сторонами 8 од. і 6 од. з центром симетрії у початку координат і впишемо в нього еліпс (рис. 29).

В ідповідь. фокуси еліпса,

Якщо у рівнянні еліпса тоді відрізок мала вісь еліпса, велика вісь еліпса (рис. 30). Формули (2.45), (2.47) запишуться у вигляді: Директрисами еліпса будуть горизонтальні прямі: