6.2. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд y_t (t= 1,2,…,n) называется строго стационарным ( или стационарным в узком смысле ), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁,y­₂,…..,y_n такое же, как и n наблюдений y_1+,y_2+,....y_n+ при любых n, t и . Другими словами, свойства строго стационарных рядов y_t не зависит от момента t, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание a_y(t) = a, среднее квадратическое отклонение _у(t) =  могут быть оценены по наблюдениям y_t (t= 1,2,…,n) по формулам:

(6.2)

(6.3)

Простейшим примером стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибок _t некоррелированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения ( ошибки) _t в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения – нормальный ( гауссовский) белый шум.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y₁,y­₂,…..,y_n и y_1+,y_2+,....y_n+ (сдвинутых относительно друг от друга на  единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

(6.4)

ибо

Так как коэффициент () измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость () – автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда y_t (t= 1,2,…,n) автокорреляционная функция () зависит только от лага , причем корреляционная функция ( - ) = () , т.е. при изучение () можно ограничиться рассмотрением только положительных значений .

Статистической оценкой () является выборочный коэффициент автокорреляции r(), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой x_i = y_t , y_i = y_t+ , a n заменяется на n - :

Функцию r() называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

При расчете r() следует помнить, что с увеличением  число n -  пар наблюдений y_t ,y_t+ уменьшается, поэтому лаг  должен быть таким, чтобы число n -  было достаточным для определения r(). Обычно ориентируются на соотношение   n/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага  взаимосвязь членов временного ряда y_t и y_t+ ослабевает и автокорреляционная функция () должна убывать ( по абсолютной величине). В тоже время для ее выборочного (эмпирического) аналога r(), особенно при небольшом числе пар наблюдений n -  , свойство монотонного убывания, ( по абсолютной величине) при возрастании  может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция _част(), где _част() есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда y_t и y_t+ при устранении ( элиминировании) влияния промежуточных ( между y_t и y_t+ ) членов.

Статистической оценкой _част() является выборочная частная автокорреляционная r_част () где r_част () – выборочный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22).Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t+ при устранении влияния y_t+1 может быть вычислен по формулу (5.22):

где r(1) , r (1,2),r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, y_t и y_t+2, t = 1,….,n.

►Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда y_t найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции 1-го порядка.

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение

где

Найдем коэффициент автокорреляции r() временного ряда ( для лага  = 1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений y_t и y_t+ (t = 1,2….,7):

yt	213	171	291	309	317	362	351
yt+	171	291	309	317	362	351	361

Вычисляем необходимые суммы:

= 213 + 171+….+ 351 = 2014

.

Теперь по формуле (6.5) коэффициент автокорреляции

Коэффициент автокорреляции r(2) для лага  = 2 между членами ряда y_t и y_t+ (t = 1,2,…6) по шести парам наблюдений вычисляем аналогично: r(2)=0,842.

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка r_част(2) = r_02.1 между членами ряда y_t и y_t+ вначале найдем ( по ананогии с предыдущим ) коэффициент автокорреляции r(1,2), между членами ряда y_t+1 и y_t+2 : r = (1,2) = 0,85 , а зачем вычислим r_част(2) по формуле (6.6):

►

Значение автокорреляционных функций r_() и r_част() может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров ( см. об этом дальше).