Косвенный метод наименьших квадратов (кмнк)

Как уже отмечалось, КМНК применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнения следующих этапов работы:

1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оценивается приведенные коэффициенты (_ij).

3. Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифицируемой эконометрической модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

Пусть для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по регионам:

Регион	у1	у2	х1	х2
1	2	5	1	3
2	3	6	2	1
3	4	7	3	2
4	5	8	2	5
5	6	5	4	6
Средние	4	6,2	2,4	3,4

Приведенная форма модели составит:

где u₁, u₂ – случайные ошибки приведенной формой модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем традиционный МНК и определяем -коэффициенты. Чтобы упростить процедуру расчетов, можно работать с отклонениями от средних уровней, т.е. и . Тогда для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Применительно к рассматриваемому примеру, используя отклонения от средних уровней, имеем:

Решая данную систему, получим следующее первое уравнение приведенной формой модели:

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формой модели, получим:

Система нормальных уравнений составит:

Применительно к нашему примеру имеем:

Откуда второе приведенное уравнение составит:

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Переходим от приведенной формой модели к структурной форме модели, т.е. к системе уравнений:

Для этой цели из первого уравнения приведенной формой модели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приведенной формой и подставив в первое:

Тогда

- первое уравнение структурной модели.

Чтобы найти второе уравнение структурной модели, обратимся вновь к приведенной форме модели. Для этой цели из второго уравнения приведенной формой модели следует исключить х₁, выразив его через первое уравнение приведенной формой и подставив в второе:

и

- второе уравнение структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Эту же систему можно записать, включив в нее свободный член уравнения, т.е. перейти от переменных в виде отклонений от среднего уровня к исходным переменным у и х.

Свободные члены уравнений определим по формулам:

Тогда структурная модель имеет вид:

При обработке по программе DSTAT система приведенных уравнений отсутствует, сразу же выдается структурная модель.

Оценка значимости модели дается через F-критерий и R² для каждого уравнения в отчетности. В рассматриваемом примере хороших результатов достичь не удалось: ввиду малого числа наблюдений значения F-критерия Фишера несущественны (при уровне значимости 0,005 F-табличное значение равно 19, а фактическое F=7 для первого уравнения).

Если к каждому уравнению структурной формой модели применить традиционный МНК, то результаты будут резко отличаться:

Как видим, не совпадают даже знаки коэффициентов при переменных: в первом уравнении структурной формы коэффициенты меньше нуля, а в уравнении регрессии больше нуля; во втором уравнении обратное воздействие у₁ на у₂ в структурной модели сменяется на прямое в уравнении регресс, а с фактором х₂ наоборот.

Различия между коэффициентами регрессии и структурными коэффициентами модели численно могут быть и не менее существенными. Так, например, Г. Тинтнер, рассматривая статическую модель Кейнса для австрийской экономики за 1948-1956 гг., получил функцию потребления классическим МНК в виде С = 0,782у + 71,6, а используя КМНК,

С = 0,7812у + 73,212.

При сравнении результатов, полученных традиционным МНК и с помощью КМНК, следует иметь в виду, что традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов. Как показал Т. Хаавельмо, рассматривая две взаимосвязанные регрессии:

коэффициент регрессии отличается от структурного коэффициента и совпадает с ним только в одном частном случае, когда переменная у не содержит ошибок (т.е. ₁ = 0), а ошибки переменной х имеет дисперсию, равную единице.

Кроме того, при интерпретации коэффициентов множественной регрессии предполагается независимость факторов друг от друга, что становится невозможным при рассмотрении системы совместных уравнений. Так, в нашем примере уравнение регрессии показывает, что с ростом х₁ на единицу у₁ возрастает в среднем на 1,192 ед. при неизменном уровне значения у₂. Между тем в соответствии с системой одновременных уравнений переменная у₂ не может быть неизменной, ибо она в свою очередь зависит от у₁.

Нарушение предпосылки независимости факторов друг от друга при использовании традиционного МНК в системе одновременных уравнений приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов; в ряде случаев они оказываются экономически бессмысленными. Опасность таких результатов возрастает при увеличении числа эндогенных переменных в правой части системы, ибо становится невозможным расщепить совместное влияние эндогенных переменных и видеть изолированные меры их воздействия в соответствии с предпосылками традиционного МНК.

Компьютерная программа применения МНК предполагает, что система уравнений содержит в правой части в каждом уравнений как эндогенные, так и экзогенные переменные. Так в п. 4.3. рассматривалась модель экономики страны с четырьмя эндогенными и двумя экзогенными переменными, в которой в первом уравнении системы не содержалось не одной экзогенной переменной. Для такой модели непосредственное получение структурных коэффициентов невозможно. В этом случае сначала определяется система приведенной формы модели, решаемая обычным МНК, а затем путем алгебраических преобразований переходят к коэффициентам структурной модели.