6.5. Анализ временных рядов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели.

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания¹.

Простейший подход – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной модели или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

У= Т+S+Е (5.5)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так

У= Т*S*Е (5.6)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагают постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной модели и мультипликативной модели сводится к расчету значений Т, S, Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной модели или (Т*Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (T*S)

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.

Пример 5.4. Построение аддитивной модели временного ряда

Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние 4 года, представленным в табл. 5.3.

В примере 5.2. было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени выше, чем весной и летом. По графику этого ряда (рис 5.2.) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Для этого:

а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр.3 табл. 5.8.)

б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл.5.8). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

в. приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значение из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр.5 табл.5.8)

Таблица 5.8.

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

№ квартала	потребления электроэнергии	Итого за 4 квартала	скользящая средняя за 4 квартала	центрированная скользящая средняя	оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6	-	-	-	-
2	4,4	24,4	6,1	-	-
3	5	25,6	6,4	6,25	-1,25
4	9	26	6,5	6,45	2,55
5	7,2	27	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28	7	6,875	-2,075
7	6	28,8	7,2	7,1	-1,1
8	10	29,6	7,4	7,3	2,7
9	8	30	7,5	7,45	0,55
10	5,6	31	7,75	7,625	-2,025
11	6,4	32	8	7,875	-1,475
12	11	33	8,25	8,125	2,875
13	9	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	-1,775
15	7			-	-
16	10,8			-	-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр.6 табл.5.8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 5.9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем голам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействие за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна 0.

Таблица 5.9.

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

показатели	год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1 2 3 4	- 0,575 0,55 0,675	- -2,075 -2,025 -1,775	-1,25 -1,1 -1,475 -	2,55 2,7 2,875 -
итого за i-й (за все годы		1,8	-5,875	-3,825	8,125
средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		0,6	-1,958	-1,275	2,708
скорректированная сезонная компонента, Si		0,581	-1,977	-1,294	2,69

Для данной модели имеем:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075

Определим корректирующий коэффициент

к = 0,075/4 = 0,01875.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом К:

Si = - К (5.7)

где i – 1:4.

Проверим условие равенства 0 суммы значений сезонной компоненты:

0,581-1,977-1,294+2,69=0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал : S₁ = 0,581

II квартал : S₂ =-1,979

III квартал : S₃ =-1,294

IV квартал : S₄ =2,69

Занесем полученные значения в табл.5.9 для соответствующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+Е = У –S (гр.4 табл.5.10.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 5.10.

Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t	Yt	Si	T+E = Yt- Si	T	T+S	E = Yt – (T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,2333
2	4,4	-1,977	6,377	6,088	4,111	0,289	0,0835
3	5	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,0004
4	9	2,69	6,31	6,461	9,151	-0,151	0,0228
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,0008
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,0032
7	6	-1,294	7,294	7,02	5,726	0,274	0,0751
8	10	2,69	7,31	7,207	9,897	0,103	0,0106
9	8	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,0007
10	5,6	-1,977	7,577	7,58	5,603	-0,003	0,0009
11	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,0052
12	11	2,69	8,31	7,952	10,642	0,358	0,1282
13	9	0,581	8,419	8,139	8,72	0,28	0,0784
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,0635
15	7	-1,294	8,294	8,519	7,225	-0,225	0,0506
16	10,8	2,69	8,11	8,698	11,388	-0,588	0,3457

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 5,715416

коэффициент регрессии 0,186421

стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188

R – квадрат 0,914971

число наблюдений 16

число степеней свободы 14

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Т = 5,715+0,186t

Поставляя в это уравнение значения t = 1, …..16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр.5 табл. 5.10.). График уравнения тренда приведен на рис.5.5

Рис. 5.5. потребления электроэнергии жителями района (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда.)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис 5.5.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

E = Yt – (T+S) (5.8)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл.5.10.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов полученных абсолютных ошибок равна 1,1. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его средней уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%:

(1-1,1/71,59)* 100 = 1,536

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пример 5.5. Построение мультипликативной модели временного ряда .

Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние 4 года (табл. 5.11)

Таблица 5.11.

Прибыль компании, тыс.долл. США

квартал	I	II	III	IV
год
1 2 3 4	72 70 62 52	100 92 80 60	90 80 68 50	64 58 48 30

График данного временного ряда (рис 5.6.) свидетельствуют о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и общей убывающей тенденции уровня ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чес в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предложить существование мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

Рис 5.6. прибыль компании.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл.5.12.

Таблица 5.12.

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

№ квартала	прибыль компании	Итого за 4 квартала	скользящая средняя за 4 квартала	центрированная скользящая средняя	оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	72	-	-	-	-
2	100	326	81,5	-	-
3	90	324	81	81,25	1,108
4	64	316	79	80	0,8
5	70	306	76,5	77,75	0,9
6	92	300	75	75,75	1,215
7	80	292	73	74	1,081
8	58	280	70	71,5	0,811
9	62	268	67	68,5	0,905
10	80	258	64,5	65,75	1,217
11	68	248	62	63,25	1,075
12	48	228	57	59,5	0,807
13	52	210	52,5	54,75	0,95
14	60	192	48	50,25	1,194
15	50			-	-
16	30			-	-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр.6 табл.5.12). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 5.13). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействие за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4.

Таблица 5.13

Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

показатели	год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1 2 3 4	- 0,9 0,905 0,95	- 1,215 1,217 1,194	1,108 1,081 1,075 -	0,8 0,817 0,807 -
итого за i-й (за все годы		2,755	3,626	3,264	2,424
средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		0,918	1,209	1,088	0,808
скорректированная сезонная компонента, Si		0,913	1,202	1,082	0,803

Для данной модели имеем:

0,918+1,209+1,088+0,808=4,023

Определим корректирующий коэффициент

к = 4/4,023=0,9943

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент К:

Si = * К (5.9) где i – 1:4.

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

0,913+1,202+1,082+0,803=4

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал : S₁ = 0,913

II квартал : S₂ =1,202

III квартал : S₃ =1,082

t	Yt	Si	T*E = Yt/Si	Т	(T*S)	E = Yt: (T*S)	Е’ = Yt – (T*S)	Е’2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	72	0,913	78,86	87,8	80,16	0,898	-8,16	66,66
2	100	1,202	83,19	85,03	102,2	0,978	-2,2	4,86
3	90	1,082	83,18	82,25	89	1,011	1	1
4	64	0,803	79,7	79,48	63,82	1,003	0,18	0,03
5	70	0,913	76,67	76,7	70,03	1	-0,03	0
6	92	1,202	76,54	73,93	88,86	1,035	3,14	9,85
7	80	1,082	73,94	71,15	76,99	1,039	3,01	9,08
8	58	0,803	72,23	68,38	54,91	1,056	3,09	9,57
9	62	0,913	67,91	65,6	59,9	1,035	2,1	4,43
10	80	1,202	66,56	62,83	75,52	1,059	4,48	20,08
11	68	1,082	62,85	60,05	64,98	1,046	3,02	9,14
12	48	0,803	59,78	57,28	45,99	1,044	2,01	4,03
13	52	0,913	56,96	54,5	49,76	1,045	2,24	5,02
14	60	1,202	49,92	51,73	62,18	0,965	-2,18	4,73
15	50	1,082	46,21	48,95	52,97	0,944	-2,97	8,79
16	30	0,803	37,36	46,18	37,08	0,809	-7,08	50,12

IV квартал : S₄ =0,803

Занесем полученные значения в табл.5.14 для соответствующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного временного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы получим величины Т*Е = У :S (гр.4 табл.5.14.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 5.14.

Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т*Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Константа 90.58515

коэффициент регрессии -2.77325

стандартная ошибка коэффициента регрессии 0.225556

R – квадрат 0,915239

число наблюдений 16

число степеней свободы 14

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Т = 90.59-2.773*t

Поставляя в это уравнение значения t = 1, …..16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр.5 табл. 5.14.). График уравнения тренда приведен на рис.5.7

Рис. 5.7. Прибыль компании (фактические, выровненные и полученные по мультипликативной модели значения уровней ряда.)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т*S) представлены на рис 5.7.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения мультипликативной модели расчет ошибки производится по формуле:

E = Yt :(T*S)

Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл.5.14. Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его можно использовать вместо исходного ряда для изучения его взаимосвязи с другими временными рядами. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, модно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок.

Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

Е^’ = Yt – (T*S) (5.11)

Для данной модели сумма квадратов полученных абсолютных ошибок составляет 207,40. Общая сумма квадратов отклонений уровней ряда от его средней уровня, равной 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-207,4/5023)* 100 = 0,959, или 95,9%.

Выявление и устранение сезонного эффекта (в некоторых источниках применяется термин «десезонализации уровней ряда») используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в российских и международных статистических сборниках часто публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной компоненты (если это помесячная или поквартальная статистика), например показатели объемов производства в отдельных отраслях промышленности, уровня безработицы и т.д. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

Пример 5.6. прогнозирование по аддитивной модели

Предположим, что данным примера 5.4 требуется дать прогноз потребления электроэнергии жителями района в течение первого полугодия ближайшего следующего года.

Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с отношением 5.5. есть сумма трендовой и сезонной компоненты.

Объем потребления электроэнергии в течение первого полугодия ближайшего следующего, т.е пятого года, рассчитывается как сумма объемов потребления электроэнергии в I и во II кварталах пятого года, соответственно F₁₇ и F₁₈. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Значение сезонной компоненты равны S₁ = 0.581 (I квартал); S₂ = -1,977 (II квартал);

Таким образом,

Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит:

(9,458+7,086) = 16,544 млн.кВт.ч

Пример 5.7. . прогнозирование по мультипликативной модели

Предположим, что по данным примера 5.5 необходимо сделать прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года.

Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели в соответствии с отношением 5.6. есть произведение трендовой и сезонной компоненты. Для определения трендовой компоненты за каждый квартал воспользуемся уравнением тренда

Значение сезонной компоненты равны S₁ = 0,913 (I квартал); S₂ = 1,202 (II квартал);

Таким образом,

Прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года составит:

(39,626+48,832) = 88,458 тыс.долл.США

Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний.

Рассмотрим еще один метод моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать 4 независимые переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью к. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года к=4, а общий вид модели следующий:

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

для I квартала:

для II квартала:

для III квартала:

для IV квартала:

Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

для I квартала: а+с1

для II квартала: а+с2

для III квартала: а+с3

для IV квартала: а

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель (5.13) есть аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Пример 5.8. Построение модели регрессии временного ряда с фиктивными переменными.

Построим модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных для данных о потреблении электроэнергии из примера 5.4. В данной модели 4 независимые переменные: t, x1,x2,x3 и результативная переменная у. Составим матрицу исходных данных (табл. 5.15).

Оценим параметры уравнения регрессии (5.13) обычным МНК. Результаты оценки приведены в табл. 5.16.

уравнение регрессии имеет вид:

Таблица 5.15.

Исходные данные для расчета параметров уравнения регрессии с фиктивными переменными по временному ряду потребления электроэнергии

t	x1	x2	x3	y
1	1	0	0	6.0
2	0	1	0	4.4
3	0	0	1	5.0
4	0	0	0	9.0
5	1	0	0	7.2
6	0	1	0	4.8
7	0	0	1	6.0
8	0	0	0	10.0
9	1	0	0	8.0
10	0	1	0	5.6
11	0	0	1	6.4
12	0	0	0	11.0
13	1	0	0	9.0
14	0	1	0	6.6
15	0	0	1	7.0
16	0	0	0	10.8

Таблица 5.16.

Уравнение регрессии с фиктивными переменными для временного ряда потребления электроэнергии

переменная	коэффициент	стандартная ошибка	т- критерий
константа	8,3250	0,227261	36,6318
t	0,1875	0,016939	11,0691
х1	-2,0875	0,220208	-9,4797
х2	-4,4750	0,216926	-20,6292
х3	-3,9125	0,214933	-18,2034
R2 = 0.985

Проанализируем эти результаты. Влияние сезонной компоненты в каждом квартале статистически значимо (фактические значения т-критерия по модулю больше 2 для параметров при переменных х1, х2, х3 и константа а). Параметр а =8,33 есть сумма начального уровня ряда и сезонной компоненты в 4-ом квартале.

Сезонные колебания в I, II, III кварталах приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров при переменных х1, х2, х3. Отметим, что эти параметры не равны значениям сезонной компоненты, поскольку они характеризуют не сезонного изменения от уровней, учитывающих сезонные воздействия в 4-ом квартале. Положительная величина параметра b =0.19 при переменной времени свидетельствует о наличии возрастающей тенденции в уровнях ряда. Его абсолютное значение говорит о том, что средний за квартал абсолютный прирост объема потребления электроэнергии составляет 0,19 млн кВт.ч, или 190 тыс. кВт.ч. Поскольку фактическое значение т-критерия Стьюдента равно 11.1, можно утверждать, что существование в уровнях ряда тенденции установлено надежно.

Коэффициент детерминации в данной модели R² = 0.985. Общая сумма квадратов уровней ряда Yt составляет:

Определим остаточную сумму квадратов.

Остаточная сумма квадратов по аддитивной модели (сумма квадратов абсолютных ошибок) была рассчитана ранее (табл.5.10) и составляет 1.1. Следовательно, модель регрессии с фиктивными переменными описывает динамику временного ряда потребления электроэнергии лучше, чем аддитивная модель.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний – наличие большого количества переменных. Если, пример, строить модели для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, таким образом такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.

6.6. Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов. Автокорреляция рядов динамики и методы ее устранения. Метод последовательных разностей. Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного оп первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени t, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 5.8.

Рис 5.8. Изменение характера тенденции временного ряда

* Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного по первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени.

Момент (период) времени t^* сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель у_t. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и другие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t^* и после момента t^*) и построить отдельно по каждой совокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 5.8. этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения не значительно повлияли на характер тенденции ряда y_t, то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 5.8. этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из выписанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Таблица 5.17

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

№ уравнения	Вид уравнения	Число наблюдений в совокупности	Остаточная сумма квадратов	Число параметров в уравнении1	Число степеней свободы остаточной дисперсии
Кусочно-линейная модель
(1)	y(1)=а1+b1t	n1	C1ост	k1	n1- k1
(2)	y(2)=а2+b2t	n2	C2ост	k2	n2- k2
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)	y(3)=а3+b3t	n	C3ост	k3	n-k3=(n1+n2)-k3
1В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений k1= k2= k3=2. В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться.

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов. Графики которых изображены на рис. 5.8 прямыми (1), (2) и (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 5.17.

Выдвинем гипотезу Н_о о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (С^кл_ост) можно найти как сумму C¹_ост и C²_ост:

C^кл_ост= C¹_ост+ C²_ост. (5.18)

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

(n₁ – k₁) + (n₂ – k₂) = (n – k₁ – k₂) (5.19)

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

C_ост= C³_ост+ C^кл_ост. (5.20)

Число степеней свободы, соответствующее C_ост, с учетом соотношения (5.19) будет равно:

n – k₃ – (n – k₁ – k₂) = k₁ +k₂ – k₃. (5.21)

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы варияции:

(5.22)

Найденное значение F_факт сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимость  и числа степеней свободы ( k₁ +k₂ – k₃) и (n – k₁ – k₂).

Если F_факт > F_табл, то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если F_факт < F_табл, то нет оснований отклонять ноль-гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Отметим следующие особенности применения теста Чоу:

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2) и (3) (см. рис. 5.8 и табл. 5.17) одинаково и равно k, то формула (5.12) упрощается:

(5.23)

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или остутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если F_факт < F_табл, то означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а₁ и а₂, а также b₁ и b₂ соответственно статистически не значимы. Если F_факт > F_табл, то гипотеза о структурной стабильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий оценок параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и незначимость их распределений.

Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда у_t отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в исследовании вопроса о причинах этих структурных различий и более детальном изучении характера изменения тенденции. В принятых нами обозначениях эти причины обуславливают различия оценок параметров уравнений (1) и (2).

Возможны следующие сочетания изменения численных оценок параметров этих уравнений (рис 5.9):

• изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда а₂ по сравнению а₁ при условии, что различия между b₁ и b₂ статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны (рис 5.9 а). В данной ситуации можно говорить о скачкообразном изменения уровней у_t в момент времени t^* при неизменном среднем абсолютном приросте за период;

• изменение численной оценки параметра b₂ по сравнению с b₁ при условии, что различия между а₁ и а₂ статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) пересекают ось ординат в одной точке (рис 5.9 б). В этом случае изменение тенденции связано с изменением среднего абсолютного прироста временного ряда, начиная с момента времени t^*, при неизменном начальном уровне ряда в момент времени t = 0;

• изменение численных оценок параметров а₁ и а₂, а также b₁ и b₂. Геометрически эта ситуация изображена на рис. 5.9 в. Она означает, что изменение характера тенденции сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за период абсолютного прироста.

Рис. 5.9. Изменение тенденции временного ряда при различном сочетании статистической значимости изменений параметров а₁ и а₂; b₁ и b₂;

а - статистически значимым является различие только между а₁ и а₂;

б - статистически значимым является различие только между b₁ и b₂;

в - статистически значимым является различие между а₁ и а₂,

а также между b₁ и b₂;

Один из статистических методов тестирования при применении перечисленных выше ситуации характеристики тенденции изучаемого временного ряда был предложен американским экономистом Дамодаром Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель регрессии фиктивной переменной Z_t, которая принимает значения 1 для всех t < t^*, принадлежащие промежутку времени до изменения характера тенденции, далее промежутку (1), и 0 значения для всех t > t^*, принадлежащие промежутку времени после изменения характера тенденции, далее промежутку (2). Д. Гуйарати предполагает определять параметры следующего уравнения регрессии:

(5.24)

Таким образом, для каждого промежутка времени получим следующие уравнения:

Промежуток (1) Z = 1

Промежуток (2) Z = 0

Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2), нетрудно заметить, что

а₁ = (а + b); b₁ = (c + d); (5.25)

a₂ = a; b₂ = c.

Параметр b есть разница между свободными членами уравнений (1) и (2), а параметр d - разница между параметрами b₁ и b₂ уравнений (1) и (2). Оценка статистической значимости различий а₁ и а₂, а также b₁ и b₂ эквивалентна оценке статистической значимости параметров b и d уравнения (5.24). Эту оценку можно провести при помощи t-критерия Стьюдента.

Таким образом, если в уравнении (5.24) b является статистически значимым, а d – нет, то изменение тенденции вызвано только различиями параметров а₁ и а₂ (рис. 5.9 а). Если в этом уравнении параметр d – статистически значим, а b – незначим, то изменение характера тенденции вызвано различиями параметров b₁ и b₂ (рис. 5.9. б). Наконец, если оба коэффициента b и d являются статистически значимыми, то на изменение характера тенденции повлияли как различия между а₁ и а₂, так и различия между b₁ и b₂ (рис. 5.9.в).

Этот метод можно использовать не только в дополнение к тесту Чоу, но и самостоятельно для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Основное его преимущество перед тестом Чоу состоит в том, что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.

Мы рассмотрели простейший случай применения теста Чоу для моделирования линейной тенденции. Однако этот тест (а также модель (5.24) с фиктивной переменной) может использовать (и действительно используется во многих прикладных исследованиях) при проверке гипотез о структурной стабильности и в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.