Двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

Далее, поставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхиудетифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидетифицируемая структурная модель может быть двух типов:

• все уравнения системы сверхидетифицируемы;

• система содержит наряду со сверхидетифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхиудетифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений

Применим ДМНК к простейшей сверхидетифицируемой модели:

Данная модель может быть получена из предыдущей идетифицируемой модели:

если наложить ограничения на ее параметры, а именно:

b₁₂ = a₁₁.

В результате первое уравнение стало сверхидетифицируемым: Н = 1 (у₁), D = 1 (х₂) и D + 1 > H. Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым: Н = 2, D = 1 и D + 1 = H.

На первом шаге найдем приведенную форму модели, а именно:

Предполагая использование тех же исходных данных, что и в предыдущем примере, получим ту же систему приведенных уравнений:

На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у₂, т.е. . С этой целью в уравнение поставляем значения х₁ и х₂ (в нашем примере это отклонения от средних уровней). Оценки для эндогенной переменной у₂ приведены в таблице:

Расчетные данные для второго шага ДМНК

х1	х2		+х1=z	у1	y1z	z2
1	2	3	4	5	6	7
-1,4	-0,4	0,103	-1,297	-2	2,594	1,682
-0,4	-2,4	0,042	-0,358	-1	0,358	0,128
0,6	-1,4	-0,035	0,565	0	0	0,319
-0,4	1,6	0,020	-0,380	1	-0,380	0,144
1,6	2,6	-0,130	1,470	2	2,940	2,161
0	0	0	0	0	5,512	4,434

После того как найденной оценки эндогенной переменной у₂, обратимся к сверхидетифицируемому структурному уравнению

.

Заменяя фактические значения у₂ их оценками , найдем значения новой переменной

+ х₁ = z.

Далее применяем МНК к уравнению

,

т.е. .

Откуда .

Таким образом, сверхидетифицируемое структурное уравнение составит:

.

Ввиду того, что второе уравнение нашей системы не изменилось, то ее структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

.

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК. Поэтому в ряде компьютерных программ, например DSTAT, для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь ДМНК.

Решение сверхидентифицируемой системы на компьютере построено на предположении, что при каждой переменной в правой части системы имеется свой структурный коэффициент. Если же в модель вводятся ограничения на параметры, как в рассмотренном примере b₁₂ = a₂₁, то программа DSTAT не работает. Структурная модель может принимать любой вид, но без ограничений на параметры. При этом должно выполняться счетное правило идентификации: D + 1 > H.