6.4. Автокорреляция в остатках, её измерение и интерпретация. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества трендового уравнения регрессии.

Одна из важнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда, как отмечено выше, состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставиться так: имеется временной (динамический) ряд

y_t (t=1,2,….,n) и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент n + .

Выше, в §3.5, 4.2, 4.5, мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной У, т.е. определение точечных и интервальных оценок У, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных Х, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений Х.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения _t (t = 1,2,…,n) представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (среднем значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным, (см. об этом гл.7.8).

В данной главе мы полагаем, что возмущения _t (t = 1,2,…,n) удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т.е. условиям нормальной классической регрессионной модели (§3.4).

► Пример 6.4. По данным табл. 6.1 дать точечную и надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент t = 9 (девятый год). (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели (см. дальше, пример 7.8.)).

Решение. Выше, в примере 6.1, получено уравнение регрессии ŷ_t = 181,32 + 25б679t, т.е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 25,7 ед. Надо оценить условное математическое ожидание М_t=9(Y) = (9). Оценкой (9) является групповая средняя

Ŷ_t=9 = 181,32 + 25,679 . 9 = 412,4 (ед.).

Найдем по формуле (3.26) оценку s² дисперсии ² (см. далее, табл. 7.1):

s² =

Вычислим оценку дисперсии групповой средней по формуле (3.33):

;

(здесь мы использовали данные, полученные в примере 6.2):

;

По табл. II приложений t_0,95;6 = 2,45. Теперь по формуле (3.34) интервальная оценка прогноза среднего значения спроса:

412,4 – 2,45. 26,73  ŷ(9)  412, 4 + 2,45. 26,73 ,

или 326,9  ŷ(9  477,9 (ед.).

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения у^*(9) вычислим дисперсию его оценки по формуле (3.35):

а зачем по формуле (3.36) – саму интервальную оценку для у^*(9):

412, 4 - 2, 45 . 43, 38  у^*(9)  412, 4 + 2, 45.43.38

или 305, 9  у^*(9)  518,9 (ед.).

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключено от 346,9 до 477,9 (ед.), а его индивидуальное значение – от 305, 9 до 518, 9 (ед.).►

Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.

Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений _t будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели вида (6.7), в которых в качестве регрессора выступала переменная t – «время». В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т.е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых в этом параграфе регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными. ( Подробнее об этих моделях см.гл.8)

Авторегрессионная модель р-го порядка (или модели AR (p)) имеет вид:

У_t = ₀ + ₁ У_t-1 + ₂ У_t-2 +……+ _p У_t-p + _t (t = 1,2,…,n),(6.11)

где _{0 ,} _1,……, _p – некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесса в момент t в зависимости от его значений в предыдущий период t – 1, t -2, …,t – p.

Если исследуемый процесс у_t в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t – 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1–го порядка (или модель AR (1) – Марковский случайный процесс):

У_t = ₀ + ₁ У_t-1 + _t ,_, (t = 1,2,…,n). (6.12)

► Пример 6.5. В таблице представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (ден. ед.):

Таблица 6.2

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Уt	971	1166	1044	907	957	727	752	1019	972	815	823
t	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Уt	1112	1386	1428	1364	1241	1145	1351	1325	1226	1189	1213

Используя авторегрессионную модель 1-го порядка, дать точечный и интервальный прогноз среднего и индивидуального значений курса акций момент t = 23, т.е. на глубину один интервал.

Решение. Попытка подобрать данному временному ряду адекватную модель вида (6.7) с линейным или полиномиальным трендом оказывается бесполезной.

В соответствии с условием применим авторегрессионную модель (6.12). Получим (аналогично примеру 6.2)

Ŷ_t = 284,0 + 0,7503y_t-1. (6.13)

Найденное уравнение регрессии значимо на 5%-ном уровне по F – критерию, так как фактически наблюдаемое значение статистики F = 24,31 > F_0,05;1;19 = 4,35. Можно показать (например, с помощью критерию Дарбина – Уотсона) (см. далее, § 7.7), что возмущения (ошибки) _t в данной модели удовлетворяют условиям классической модели и для проведения прогноза могут быть использованы уже изученные нами методы.

Вычисления, аналогичные примеру 6.3, дают точный прогноз по уравнению(6.13):

Ŷ_t=23 = 284,0 +0, 7503. 1213 = 1194,1

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего или индивидуального значений –

1046,6   1341,6 ; 879,1   1509,1.

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение курса акций данной компании на момент t= 23 будет заключено в пределах от 1046,6 до 1341,6 (ден. ед.), а его индивидуальное значение – от 879,1 до 1509,1 (ден. ед.).►

Наряду с авторегрессионным моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней, в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени.

Модель скользящей средней q-го порядка (или модель MA (q)), имеет вид:

Y_t = _t + ₁ _t-1 + ₂ _t-2 +…..+ _q _t-q (6.14)

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов АR и МА.

Авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно (или модель ARMA (p,q) имеет вид:

У_t = ₀ + ₁ У_t-1 +…..+_p У_{t-p +}_t + ₁ _t-1 + ₂ _t-2 +…..+ _q _t-q . (6.15)

В заключение этой главы отметим, что использование соответствующих

авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т.е. автопрогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило в краткосрочной перспективе).

Упражнения

В примерах 6.6 – 6.8 имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы y_t (ц/га) за 10 лет:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16,3	20,2	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	8,7	20,7

6.6. Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов  = 1;2) временного ряда.

6.7. Найти уравнение тренда временного ряда y_t, полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.

6.8. Провести сглаживание временного ряда y_t методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую интервалом сглаживания:а) m = 3; m = 5.

6.9. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения y_t (ден. ед.) за восьмилетний период:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
yt	1133	1222	1354	1389	1342	1377	1491	1684

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:

а) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне 0,05;

б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогноза среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во – первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель.

Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Во–вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Этих колебания могу носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний, уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктура рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис.5.1.б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайно компоненту, приведен на рис.5.1.в).

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы

использования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависит от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно изменить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 5.1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные средних расходах на конечное потребление (y_t,д.е.) за 8 лет (табл.5.1)

Таблица 5.1

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

t	yt
1 7 - - - - - - 2 8 7 -3,29 -3 9,87 10,8241 9 3 8 8 -3,29 -2 6,58 10,8241 4 4 10 8 -1,29 -2 2,58 1,6641 4 5 11 10 - 0,29 0 0 0,0841 0 6 12 11 0,71 1 0,71 0,5041 1 7 14 12 2,71 2 5,42 7,3441 4 8 16 14 4,71 4 18,84 22,1841 16 Σ 86 70 - 0,03* 0 44 53,4287 38 * сумма не равна 0 ввиду наличия ошибок округления

Разумно предложить, что расходов на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.

Определим коэффициент корреляции между рядами и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в табл. 5.1 временной ряд

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

.

В качестве переменной x мы рассмотрим ряд y­₂,y₃,…,y_8; в качестве переменной y – ряд y₁,y₂,…,y₇. Тогда приведенная выше формула примет вид

(5.1)

Где (5.2)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1, т.е. при лаге 1.

Для данных примера 5.1 соотношения (5.2) составят:

Используя формулу (5.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и определяется по формуле

(5.3)

где . (5.4)

Для данных из примера 5.1 получим:

Построим табл.5.2.

Подставив полученные значения в формулу (5.3), имеем:

.

Таблица 5.2

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.

t	yt
1 7 - - - - - - 2 8 - - - - - - 3 8 7 -3,83 -2,33 8,9239 14,6689 5,4289 4 10 8 -1,83 -1,33 2,4339 303489 1,7689 5 11 8 - 0,83 -1,33 1,1039 0,6889 1,7689 6 12 10 0,17 0,67 0,1139 0,0289 0,4489 7 14 11 2,17 1,67 3,6239 4,7089 2,7889 8 16 12 4,17 2,67 11,1339 17,3889 7,1289 Σ 86 56 0,02* 0,02* 27,3334 40,8334 19,3334 * сумма не равна 0 ввиду наличия ошибок округления

Получение результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше ( n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка и экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровней ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализа автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощью анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в  моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис.5.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционном функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (T) и циклической (сезонной) компоненты (S)

Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 5.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.

Пример 5.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.

Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов (табл.5.3).

Таблица 5.3

Потребление электроэнергии жителями региона, млн кВт . ч

t
1 6,0 - - - - 2 4,4 6,0 - - - 3 5,0 4,4 6,0 - - 4 9,0 5,0 4,4 6,0 - 5 7,2 9,0 5,0 4,4 6,0 6 4,8 7,2 9,0 5,0 4,4 7 6,0 4,8 7,2 9,0 5,0 8 10,0 6,0 4,8 7,2 9,0 9 8,0 10,0 6,0 4,8 7,2 10 5,6 8,0 10,0 6,0 4,8 11 6,4 5,6 8,0 10,0 6,0 12 11,0 6,4 5,6 8,0 10,0 13 9,0 11,0 6,4 5,6 8,0 14 6,6 9,0 11,0 6,4 5,6 15 7,0 6,6 9,0 11,0 6,4 16 10,8 7,0 6,6 9,0 11,0

Нанесем эти значения на график (рис.5.2).

Рис 5.2. потребления электроэнергии жителями региона.

Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим в табл. 5.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: r₁ = 0,165. Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого такова, что каждый следующий уровень от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 5.3 ). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка r₂, получим количественную характеристики корреляционной связи рядов , , r₂ = 0,567 _. Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значение и коррелограмма приведены в табл. 5.4.

Табл.5.4

Коррелограмма временного ряда электроэнергии

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней	Коррелограмма
1 0,165154 ** 2 0,566873 ******* 3 0,113558 * 4 0,983025 ************* 5 0,118711 * 6 0,722046 ********* 7 0,003367 8 0,973848 ************

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. табл. 5.2).

Аналогично, если например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденция временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

. линейный тренд: ŷ_t = a + b.

. гипербола: ŷ_t = a + b/t;

. экспоненциальный тренд: ŷ_t = e^{a +b.t}

. тренд в форме степенной функции ŷ_t = a .t^

. парабола второго и более высоких порядков

ŷ_t = a + b₁ + b_2.t +…+ b_k . t^k.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализа графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровня y­_t и y_t-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом ряде, чем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R² и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

Пример 5.3. Расчет параметров тренда.

Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 1999 г. в процентах к уровню декабря 1998 г. (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г., % к уровню декабря 1998 г.

Месяц	Темы роста номинальной месячной платы	Месяц	Темпы роста номинальной месячной заработной платы
Январь Февраль Март Апрель Май	82,9 87,3 99,4 104,8 107,2	Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь	121,6 118,6 114,1 123,0 127,3

Построим график данного временного ряда (рис.5.3).

На рис. 5.3 наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда.

Для дальнейшего анализа определим коэффициенты автокорреляции по уровням этого ряда и их логарифмам (табл.5.6.).

Таблица 5.6

Автокорреляционная функция временного ряда темпов рота номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г., % к уровню декабря 1998 г.

Лаг	Автокорреляционная функция
	по уровням ряда	по логарифмам уровней ряда
1 2 3	0,901 0,914 0,805 0,832 0,805 0,896

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядка свидетельствуют о том, что содержит тенденцию. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням этого ряда и по логарифмам уровней позволяют сделать следующий вывод: если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме. Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функции, например степенной или экспоненциальный тренд.

Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры основных видов трендов. Результаты этих расчетов представлены в таблю5.7, согласно данным которой наилучшей является степенная форма тренда, для которой значение скорректированного коэффициента детерминации наиболее высокое. Уравнение степенного тренда можно использовать как в линеаризованном виде, так и в форме исходной степенной функции после проведения операции потенцирования. В исходном виде это уравнение выглядит следующим образом:

.

Таблица 5.7

Уравнения трендов для временного ряда темпов роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г., % к уровню декабря 1998 г.

Тип тренда	Уравнение	R2
Линейный	(0,595)	0,887	0,873
Парабола второго порядка	(2,11) (0,187)	0,937	0,920
Степенной	(0,017)	0,939	0,931
Экспоненциальный	(0,006)	0,872	0,856
Гиперболический	(0,8291)	0,758	0,728

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

a - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0

b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменились от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом, равным 4б72 проц. пункта. Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во- первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения t = 1,2,….,n т.е.

Во- вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т.е.

и т.д.

График линейного тренда приведен рис 5.3.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию. Параметр a – это начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина e^b – это средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

Для нашего примера уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид:

или

Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста – 1,046. Следовательно, можно сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999г. изменялись от уровня 83,96% со средним за месяц цепным темпом роста, равным 104,6%. Иными словами, средний за месяц цепной темп прироста временного ряда составил 4.6%.

По аналогии с линейной моделью расчетные значения уровней ряда по экспоненциальному тренду можно получить как путем подстановки в уравнение тренда значений t = 1,2,….,n, так и в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый его последующий уровень есть произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста.

При наличии неявной нелинейной тенденции следует дополнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, с тем чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, или ускорения темпов прироста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов, и т.д. В случае если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях t, результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными вследствие ошибки спецификации.

Иллюстрация возможного появления ошибки спецификации приводится на рис. 5.4.

Рис. 5.4. ошибка спецификации при выборе уравнения тренда

Если наилучшей формой тренда является парабола второго порядка, в то время как на самом деле имеет место линейная тенденция, то при больших t парабола и линейная функция будут по разному описывать тенденцию в уровнях ряда. При t> t* парабола второго порядка характеризует убывающую тенденцию в уровнях ряда yt, а линейная функция - возрастающую.