7.3 Проблемы идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эндогенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид:

Где y₁ и y₂ – совместные зависимые.

Из второго уравнения можно выразить y₁ следующей формулой:

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной переменной y₁ с одним и тем же набором экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для лучить значения эндогеннной авит: е от параметров обычной линейной регрессии.

0000000000000000000000000000расчета структурных коэффициентов одной и той же модели связано с неполной ее идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Так, при n=2 и m=3 полный вид структурной модели составит:

(4.3)

Как видим, модель содержит восемь структурных коэффициентов, что соответствует выражению n.(n-1+m).

Приведенная форма модели в полном виде содержит nm параметров. Для нашего примера это означает наличие шести коэффициентов приведенной формы модели. В этом можно убедиться, обратившись к приведенной форме модели, которая будет иметь вид:

Действительно, она включает в себя шесть коэффициентов .

На основе шести коэффициентов приведенной формы модели требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что , естественно, не может привести к единственности решения. В полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно n*(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из nm параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшиться число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели a₁₃=0 и a₂₁=0 , то структурная модель примет вид:

(4.4)

В такой модели число структурных коэффициентов не превышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно 6. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели

Возможно и другим путем : например, путем приравания некоторых к друг00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например, ограничения вида .

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

Идентифицируемые ;

Неидентифицируемые;

Сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируемые, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная модель (4.4) с двумя эндогенными и тремя экзогенными ( предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных коэффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценэмы модели. ли равно числу мы модели, т. 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000ены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде (4.1), содержащая n эндогенных и m предопределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этом модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структурной модели полного вида (4.1) предположить нулевые значения не только коэффициентов a₁₃ и a₂₁ (кА в модели (4.2)), но и a₂₂=0, то система уравнений станет сверхидентифицируемой:

(4.5)

В ней пять структурных коэффициентов не могут быть однозначно определены из шести коэффициентов не могут быть однозначно определены из шести коэффициентов приведенной формы модели. Сверхидентифируемая модель в отличие от не идентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемой. Сверхитифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через H, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержаться в системе, но не входят в данное уравнение, - через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1=H - уравнение идентифицируемо;

D+1<H - уравнение неидентифицируемо;

D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновременных уравнений:

(4.6)

Первое уравнение точно идентифицируемо, ибо в нем присутствуют три эндогенные переменные- y₁, y₂, y₃ т.е. H=3, и две экзогенные переменные-x₁ и x₂, число отсутствующих экзогенных переменных равно двум –x₃ и x₄, D=2. тогда имеем равенство: D+1=H, т. е. 2+1=3, что означает наличие идентифицируемого уравнения.

Во втором уравнении системы H=2 (y₁ и y₂) и D=1 (x₄). Равенство D+1=H, т. е. 1+1=2. уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении системы H=3 (y₁, y₂, y₃), a D=2 (x₁ и x₂). Следовательно, по счетному правилу D+1=H, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, система (4.6) в целом идентифицируемо. Таким образом, система (4.6) в целом идентифицируема.

Предположим, что в рассматриваемой модели a₂₁=0 и a₃₃=0. Тогда система примет вид:

(4.7)

Первое уравнение этой системы не изменилось. Система по прежнему содержит три эндогенные и две экзогенные переменные, поэтому для него D=2 при H=3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемым оказывается и третье уравнение системы, где H=3 (y₁, y₂, y₃) и D=3 (x₁, x_2,x₃), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3+1>3менные, де следующего счетного равила:

ющих в данном уравнении, но присут или D+1>H.

Модель в целом является сверхидентифицируемой.

Предположим, что последнее уравнение системы (4.7) с тремя эндогенными переменными имеет вид:

т. е. в отличие от предыдущего уравнения в него включены еще две экзогенные переменные, участвующие в системе, -x₁ и x₂. в этом случае уравнение становится неидентифицируемо, ибо при H=3, D=1 (отсутствует только x₃) и D+1<H , 1+1<3. Итак, несмотря на то что первое уравнение идентифицируемо, второе сверхидентифицируемо, вся модель считается неидентифицируемой и не имеет статистического решения.

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели.

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которая не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем , что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Обратимся к следующей структурной модели:

(4.8)

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации. Для первого уравнения H=3 (y₁, y₂ , y₃) и D=2 (x₃ и x₄ отсутствуют), т. е. D+1= H и необходимое условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точно идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы (detA) коэффициентов равен нулю:

Уравнения	Переменные
	х3	х4
2	а23	а24
3	0	0

итуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы называнных их в данном уравнен.

Следовательно, достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Для второго уравнения H=2 (y₁ и y₂), D=1 (отсутствует х₁) счетное парило дает утвердительный ответ: уравнение идентифицируемо (D+1=H).

Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффициенты при отсутствующих во втором уравнении переменных составят:

Уравнения	Переменные
	у3	х1
1	b13	a11
3	-1	a31

Согласно таблице DetA  0 ранг матрицы равен 2, что соответствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не менее чем число эндогенных переменных в системе без одного. Итак второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение системы содержит Н = 3 и D = 2, т.е. по необходимому условию идентификации оно точно идентифицируемо (D+1=H). Противоположный вывод имеем, проверив его на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов при отсутствующих в третьем уравнении переменных в которой detA = 0:

Уравнения	Переменные
	у3	х1
1	0	0
2	а23	а24

Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируемая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой, исходя из достаточного условия идентификации.

В эконометрических моделях часто на ряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны ±1. в этом случае хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Например, рассмотрим эконометрическую модель экономики страны:

Где у₁ – расходы на конечное потребление данного года;

у₂ – валовые инвестиции в текущем году;

у₃ – расходы на заработную плату в текущем году;

у₄ – валовой доход за текущий год;

х₁ – валовой доход предыдущий год;

х₂ – государственные расходы текущего года;

А – свободный член уравнения;

 – случайные ошибки.

В этой модели четыре эндогенные переменные (у₁, у₂, у₃, у₄). Причем, переменная у₄ заданна тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех первых уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенных переменных – экзогенную х₂ и лаговую х₁.

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях эндогенных переменных у₁, у₂, у₃ обычно содержится свободный член (А₀₁, А₀₂, А₀₃), значение которого аккумулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных у₁, у₂, у₃ могут отличаться от теоретических постулируемых моделью, то принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случайные составляющие (возмущения) обозначены через ₁, ₂, и ₃. Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели.

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы точно идентифицируемо, ибо Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие идентификации (D + 1 = H). Кроме того, выполняется и достаточное условие идентификации, т.е. ранг матрицы равен 3, а определитель ее равен 0: detА равен –а₃₁ что видно в следующей таблице:

Уравнения	у2	х1	х2
2	-1	а21	0
3	0	–а31	0
4	1	0	1

Второе уравнение системы также точно идентифицируемо: Н=2 и D=1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 = H, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы равен 3 и detА равен –b₃₄:

Уравнения	у2	х1	х2
1	-1	b14	0
3	0	b34	0
4	1	-1	1

Аналогично третье уравнение системы также идентифицируемо: Н=2 и D=1, D + 1 = H и detА  0, а ранг матрицы А = 3 и detА = 1:

Уравнения	у2	х1	х2
1	-1	0	0
2	0	-1	0
4	1	1	1

Идентификация уравнений достаточно сложна и не ограничивается только выше изложенным. На структурные коэффициенты модели могут накладываться и другие ограничения, например, в производственной функции сумма эластичностей может быть равна по предложению 1. Могут накладываться ограничения на дисперсии и ковариации остаточных величин.

7.4. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, общая схема алгоритма расчетов. Применение эконометрических моделей. Модель Кейнса (статистическая и динамическая формы). Модель Клейна.

Коэффициент структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивание коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов;

• двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легко реализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) используется для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используют для сверхидентифицируемых систем уравнений.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наибелее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949г. Т. Андерсоном и Н. Рубинным. Математическое описание метода дано, например, в работе Дж. Джонстона.

В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простой последнего. Этому способствовала также разработка в 1961 г. Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели. Для структурной модели Г. Тейл определил семейство оценок класса К и показал, что оно включает три важных оператора оценивания: обычный МНК при К=0, ДМНК при К=1 и метод ограниченной информации при limK=1. В последнем случае решение структурной модели соответствует оценкам ДМНК.

Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК. С концепцией данного метода можно ознакомиться в работе Дж. Джонстона. Он позволяет получить оценки с учетом взаимосвязи уравнений.