1. Функция – нечетная, то есть ;

2. Функция ― монотонно возрастает, причем при

Практически можно считать, что уже при x > 4 .

Пример. Найдем вероятность того, что из 400 семей от 300 до 360 имеют холодильники.

Решение. Так как npq = 64 > 20, то интегральная формула дает достаточно хороший результат.

Определим и

;

Следствия.

Иногда для решения задач полезно знать такие вероятностные оценки событий:

1. Число m наступления события А отличается от числа np не более, чем на величину ε > 0

2. Частость события a заключена в пределах от до

, где

3. Частость события А отличается от его вероятности p не более, чем на Δ > 0

Пример 1. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначальной цене 1) не будет продано 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее двух пакетов; б) не более двух; в) хотя бы два пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

Решение. 1) Вероятность того, что пакет акций не будет продан по первоначальной цене

p = 1 – 0, 2 = 0, 8.

По формуле Бернулли

2. A) По условию

Тогда (m < 2) = ;

2. б) ;

2. в) (m < 2) = ;

2. Г) Наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене (по формуле 2 из II).

; , то есть наивероятнейших два числа:

;

Пример 2. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число поврежденных при транспортировке изделий составляет 0, 02 %. Найти вероятность того, что из 10000 изделий 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

Решение. 1) а) Вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке p = 0, 0002. Так как p – мала, n = 10000 – велико и < 10 , то следует применять формулу Пуассона

1) б)

Проще (Формула Муавра – Лапласа не подходит, так как < ).

2) а) В данном случае p = 1 – 0, 0002 = 0, 9998. И надо найти . Но ни формулу Пуассона (p – велико), ни формулу Муавра – Лапласа (npq = 2 < 20) нельзя применять. Однако событие “не будет повреждено 9997 из 10000” равносильно событию “будет повреждено 3 из 10000”. Вероятность этого события уже подсчитана в 1) а) и

2) Б) Событие “не будет повреждено хотя бы 9997 из 10000” равносильно событию “будет повреждено не более 3 из 10000”

Пример 3. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегестрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) не менее 480 предприятий; в) от 480 до 520.

Решение.

а) По условию p = 0, 5 ; q = 0, 5. Так как n = 1000 достаточно велико и условие > выполняется, то применим локальную формулу Муавра – Лапласа.

Найдем ; .

б) Необходимо найти . Применим интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Найдем ;

в) Вероятность можно найти по формуле Муавра – Лапласа. Но проще использовать следствие 1, заметив, что границы интервала 480 и 520 симметричны относительно значения .

Поэтому