14. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:
а) для первого
б) для второго
а) Составьте закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;
б) Проверьте свойство математического ожидания суммы случайных величин.
15. Случайная
величина X
сосредоточена на интервале
и задана функцией распределения
Найдите вероятность попадания случайной
величины X
в интервал
.
Постройте график функции
16. Случайная
величина X,
сосредоточенная на интервале
задана функцией распределения
.
Найдите вероятность того, что случайная
величина X
примет значения: а) меньше 4; б) не
меньше 6; в) не меньше 3 ; г) Вычислите
вероятность попадания случайной величины
в интервал
.
17. Случайная величина X задана функцией распределения
Найдите:
а) плотность вероятности
б)
в)
;
г) Постройте
графики функций
и
18. При каком a функция
будет плотностью некоторой случайной величины?
Вычислить: а)
;
б)
и
.
19. Случайная величина X задана функцией распределения
Определите: 1)
Плотность
2)
20. Случайная величина X задается функцией распределения
Определите и .
21. Случайная величина X задается функцией распределения
Определите
вероятность того, что в результате двух
независимых испытаний случайная величина
X
оба раза попадет в интервал
.
22. Случайная величина X задана функцией распределения
Постройте закон распределения случайной величины X.
Вычислите:
IV. Системы случайных величин.
Пусть на одном и том же вероятностном пространстве (Ω,F,P)
задано n случайных величин X ,X ,…,X . Совокупность случайных величин (X ,X ,…,X ) назовем многомерной (n – мерной) случайной величиной или случайным вектором.
В дальнейшем, чтобы не оперировать громоздкими векторными обозначениями, будем рассматривать двумерный случай.
Двумерную случайную величину можно толковать геометрически как случайную точку (X,Y) на плоскости XOY, или как случайный двумерный вектор.
Пример 1. Двумерной случайной величиной является вектор (X,Y), где X – сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, а Y – сумма их квадратов.
Пример 2. Широта X и долгота Y падения метеорита на Землю представляет собой двумерный случайный вектор (X,Y).
Дискретной называют случайную величину, компоненты которой дискретны. Закон распределения случайной величины можно описать в виде таблицы.
-
Y
X
y
y
…
y
P
= P(X=x
)X
P
P
…
P
P
X
P
P
…
P
P
.
.
.
…
…
…
…
…
X
P
P
…
P
P
P
=P(Y=y
)P
P
…
P
В верхней строке этой таблицы перечислены все возможные значения величины Y, а в левом столбце --X. На пересечении
“Y
”--
столбца с
“X
”
– строкой
указаны вероятности
p
=
P(X=x
;Y=y
).
На пересечении столбца P
со строкой “X
”
записывают
число P
=P
+P
+
…+P
.
Но P
есть вероятность того, что случайная
величина X примет значение x
,то
есть P
=P(X=x
).
Аналогично в
строке P
:P
=P
+P
+…+P
.
Случайный вектор может быть задан также с помощью функции распределения.
Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называют функцию двух аргументов F(x,y), равную вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y, то есть F(x,y) = P(X<x, Y<y).
Некоторые свойства функции распределения.
1. 0 ≤ F(x,y) ≤ 1.
2. lim F(x,y) = F (x) lim F(x,y) = F (y)
3. lim F(x,y) = 1 lim F(x,y) = 0
Функция распределения является неубывающей по каждому аргументу, то есть
F(x ,y) ≥ F(x ,y), если x >x
F(x,y ) ≥ F(x,y ), если y >y
Случайную величину (X,Y) называют непрерывной, если ее функция распределения F(x,y) может быть представлена в виде
F(x,y)
=
При этом f(x,y) называют плотностью.
Свойства плотности распределения.
1. f(x,y) ≥ 0
2.
3.
P(a
<X<b
;a
<Y<b
)
=
4.
P((X,Y)
D) =
5. f
(x)
=
; f
(y)
=
Если функция
распределения F(x,y)
непрерывна и дважды дифференцируема,
то f(x,y) =
Две случайные
величины X
и Y
называют независимыми,
если
,
где F(x,y) – совместная функция распределения
случайных величин X и Y соответственно.
Если случайные
величины X и Y обладают плотностями f
(x)
и f
(y)
и совместной плотностью вероятности
f(x,y),
то для независимых случайных величин
.
Справедливо и обратное утверждение.
Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным
моментом K
случайных величин X
и Y
называют математическое ожидание
произведения отклонений этих величин
от их математических ожиданий, то есть
K = M((X – MX)(Y – MY))
Для дискретной случайной величины
K
=
Для непрерывного случая
K
=
Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен 0.
Часто рассматриваются всевозможные корреляционные моменты всех случайных величин, взятых попарно.
Для двумерного
вектора (X,Y) мы приходим к корреляционной
матрице
,
где К
и К
-- дисперсии X
и Y, а К
= К
.
Выражение
называют коэффициентом
корреляции,
где
и
-- средние квадратические отклонения
случайных величин
X и Y.
Свойства.
– 1 ≤ r(x,y) ≤ 1.
2. Для независимых случайных величин r = 0.