Лабораторная работа №2

1. Теорема сложения вероятностей. Для любых соотношений а и в справедлива теорема сложения вероятностей:

. (1)

Если А и В несовместны, то . (2)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Пример 1. В урне 40 шаров: 15 синих, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шар?

Решение. Извлечение цветного шара означает появление либо синего, либо зеленого шара. Вероятность извлечения синего шара (событие А): .

Вероятность извлечения зеленого шара (событие В): .

Так как события А и В несовместны, то .

Пример 2. Завод в среднем дает 27 % продукции высшего сорта и 70 % первого сорта. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта?

Решение. Быть изделию высшего сорта (событие А) или первосортным (событие В) – несовместные события.

Поэтому .

2. Условная вероятность события. Независимость событий.

Вероятность наступления события В определяется при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может изменяться. Так, если к комплексу условий, при которых изучалась вероятность P(B), добавить новое условие А, полученная вероятность события В, при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается P(B / A).

Пример. В ящике 5 деталей, из которых 3 стандартных и 2 бракованных. Поочередно из него извлекаются по одной детали (с возвратом и без возврата). Какова вероятность извлечь во второй раз стандартную деталь?

Решение. Пусть событие А и В – извлечение стандартной детали в первый и во второй раз соответственно.

Р(А) = . Если вынутая деталь возвращается, то и P(B) = .

Если вынутая деталь в ящик не возвращается, то вероятность извлечь во второй раз стандартную деталь зависит от того, какая деталь была извлечена в первый раз – стандартная (событие А) или бракованная (событие ).

В первом случае , во втором .

Определение. Если P(В) > 0, то условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, есть число, определяемое формулой

(1)

События А и В, вероятности которых отличны от 0, называют независимыми, если

или (2)

3. Теорема умножения вероятностей.

Если P(A) > 0, P(B) > 0, то (3)

Для независимых событий (4)

Ясно, что если и – независимы, то независимы и , и , и .

Пример 1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9; второй экзамен – 0, 9; третий экзамен – 0, 8. Найдите вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Решение. а) Обозначим события: = { студент сдаст i – ый экзамен ( i = 1, 2, 3) };

В = { студент сдаст только второй экзамен из трех }.

Ясно, что . Так как , , – независимы, то

= = .

б) Пусть событие С = { студент сдаст один экзамен из трех }.

в) Пусть событие Д = { студент сдаст все три экзамена }.

г) Пусть событие Е = { студент сдаст по крайней мере два экзамена из трех }, то есть он сдаст либо два экзамена из трех, либо все три.

д) Пусть событие F = { студент сдал хотя бы один экзамен } (иначе: не менее одного экзамена).

Лучше рассмотреть противоположное событие F = { студент не сдал все три экзамена }.

Тогда

Задачи

Пример 1. Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти блоков. Производится последовательная замена каждого блока до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что придется заменить: а) два блока; б) четыре блока?

Решение. Пусть событие А = { исправлен i – ый блок }

а) Событие В = { произошла замена двух блоков }.

Очевидно, что придется заменить два блока, если первый блок исправен, а второй нет.

б) Пусть событие С = { замена четырех блоков }

Пример 2. Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из нерассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что обе обработаны на одном станке?

Решение. Пусть А = { деталь обработана на i – ом станке } (i = 1, 2, 3).

По условию

Пусть событие В = { обе отобранные детали обработаны на одном станке }.

Пример 3. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0, 6.

Найдите вероятность того, что:

а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигании;

б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз?

Решение. Введем обозначения.

а) Событие А = { двигатель начнет работать при каждом включении зажигания };

Событие B = { двигатель начнет работать при третьем включении зажигания }.

Тогда

б) Пусть событие

С = { для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз }

Очевидно, нужное событие наступит, если двигатель начнет работать при первом включении, или при втором включении, или при третьем включении.

То есть .

Тогда