Лабораторная работа №1

1. Классическое определение вероятности.

Пусть пространство элементарных исходов Ω состоит из конечного числа n равновозможных несовместных исходов ω , ω , …, ω , а событие А содержит m из них. Назовем эти m исходов благоприятствующими событию А.

Определение. Вероятностью события А (обозначается P(A)) назовем отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов n.

P(A) = . Так как m ≤ n, то 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Понятно, что вероятность достоверного события P(Ω) = 1 (m = n), а вероятность невозможного события P(Ø) = 0 (m = 0).

Пример 1. Из колоды в 36 игральных карт наудачу выбирают одну. Какова вероятность того, что она окажется тузом (событие А)?

Решение. Из колоды мы можем выбрать любую из 36 карт, то есть n = 36.Тузов в колоде 4, m = 4. Следовательно,

P(A) = = .

Пример 2. Буквы Т, О, Е, И, Р, Я написаны на отдельных карточках.

Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их одну к другой: а) три карточки; б) шесть карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) тор; б) теория?

Решение.

а) Пусть событие А = { получено слово “тор”}. Различные комбинации из трех букв, которые берутся из шести, представляют размещения, так как могут отличаться либо составом входящих букв, либо их порядком следования (или и тем, и другим), то есть общее число исходов n = A , из которых только один благоприятствует событию А, m = 1. Следовательно,

P(A) = = = .

б) Пусть событие В = { получено слово “теория” }. Различные комбинации шести букв из шести имеющихся представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв. Поэтому общее число исходов n = P = = 6!. Из них событию В благоприятствует один вариант, m = 1.

Поэтому,

P(B) = = = = .

Пример 3. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?

Решение. Пусть событие А = { выбранные наудачу 3 студента – разрядники }.

Общее число случаев выбрать трех студентов из 30 равно n = С , так как комбинации из 30 по 3 должны отличаться только составом студентов. Число благоприятствующих случаев равно С . Итак,

P(A) = = = 0, 030.

Пример 4. В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли четыре человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже от второго до девятого. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на шестом этаже; б) на одном этаже?

Решение.

а) Пусть событие А = все пассажиры выйдут на шестом этаже. Каждый пассажир может выйти на любом из этажей со второго по девятый, то есть имеется восемь способов. По основному принципу комбинаторики число способов выхода четырех пассажиров из лифта n = 8 . А благоприятствует только один исход – все пассажиры вышли на шестом этаже.

P(A) = =  0, 00024.

б) Пусть событие В = { все пассажиры выйдут на одном этаже }. Теперь событию будут благоприятствовать m = 8 случаев (все пассажиры выйдут на втором, третьем, …, девятом этажах. Поэтому

Р(В) = =  0, 00195.

Замечание. Общее число способов выхода пассажиров из лифта можно найти, используя формулу размещения с повторениями из восьми элементов (этажей) по четыре.