Упражнения

1. В люстре три лампы. Вероятность выхода из строя каждой лампы в течение года равна 0, 2. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не меньше двух ламп?

2. Вероятность попасть при одном выстреле равна 0, 4. Определите вероятность того, что из 300 выстрелов будет: а) 100 попаданий; б) от 100 до 200 попаданий; в) не меньше 100 попаданий.

3. Контролируется 1000 изделий. Известно, что вероятность появления бракованного изделия равна 0, 001. Определите вероятность того, что в этой партии окажется 3 бракованных изделия.

4. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определите вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0, 515.

5. Какова вероятность того, что в столбике из ста наугад отобранных монет, расположенных “гербом” вверх, будет от 40 до 55?

6. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени Т, равна . Найдите вероятности того, что: а) 4 станка потребуют к себе за это время внимания рабочего; б) число потребовавших к себе внимания рабочего станков находится в интервале между 3 и 6 (включая границы); в) наивероятнейшее число станков, которое потребует к себе внимание рабочего.

7. Считая, что вероятность рождения мальчика и девочки совпадает, а общее количество детей равно 10, найдите вероятности событий: а) в семье 5 девочек и 5 мальчиков; б) число мальчиков заключено между 3 и 8, включая границы.

8. В вузе обучаются 730 студентов. Пусть вероятность того, что день рождения наугад взятого студента приходится на определенный день года, равна для каждого из 365 дней. Найдите: а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января; б) вероятность того, что найдутся три студента, имеющих один и тот же день рождения.

9. Вероятность того, что автосалон в течение дня продаст машину равна 0, 2. Найдите вероятность того, что: а) в течение дня будет продано 2 машины; б) не менее трех машин. Определите наивероятнейшее число автомобилей, проданных в течение дня.

10. Завод выпускает в среднем 3 % брака. Какова вероятность того, что среди 10000 изделий будет: а) 250 нестандартных; б) не более 350 нестандартных?

11. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0, 6. Найдите вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

12. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в 99, 99 % случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет 4 ребенка?

13. Сколько раз с вероятностью 0, 0484 можно ожидать появление события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0, 5?

14. Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 100 изделий бракованных будет не более 17?

15. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0, 9 прорастания для каждого семени. Найдите границу модуля отклонения частоты взошедших семян от вероятности p = 0, 9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью P = 0, 995.

16. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0, 997 отклонение частоты изделий первого сорта в них от вероятности p = 0, 85 по модулю не превосходило 0, 01?

17. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0, 05. Найдите с вероятностью 0, 95 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий.

Лабораторная работа №4

Случайные величины

1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Под случайной величиной понимают переменную, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее не известно). Примеры случайных величин:

1) количество бракованных изделий в данной партии;

2) число произведенных выстрелов до первого попадания;

3. время ожидания транспорта при поездке на работу;

4) курс доллара в определенный день;

5)число новорожденных в городе Донецке в течение часа;

6)число дней в году.

Разберем последний пример более подробно. Результат испытания 365 или 366 зависит от того год обычный или високосный. Если назвать любой исход эксперимента элементарным событием (обозначается ), а все возможные события пространством элементарных событий (обозначается ), то для нашего случая , где — обычные годы, а — високосный год.

Договоримся случайные величины обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, …, а их значения соответствующими строчными x, y, z, …

В нашем примере случайная величина X — число дней в году — является функцией элементарных исходов;

Случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений на числовой прямой, называется дискретной. В разобранном случае речь шла о дискретной случайной величине, ибо она принимала два значения: 365 и 366.

Если же случайная величина принимает непрерывное множество значений (например, значения на всей числовой прямой, на полупрямой, на отрезке), то ее называют непрерывной. (С более точным определением случайной величины можно познакомиться, например, [4])

Простейшая форма задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания различные возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

X:

Такая таблица называется рядом распределения. Ясно, что

Можно закон распределения определить формулой

Если число значений случайной величины счетно, то .

Пример 1. В лотерее разыгрывается автомобиль стоимостью в 5000 у. е., 4 телевизора стоимостью 250 у. е., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 у. е. Всего продается 1000 билетов по 7 у. е. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим 1 билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X – чистого выигрыша на 1 билет:

(если билет не выиграл); (если на билет выпал выигрыш видеомагнитофона); (если на билет выпал выигрыш телевизора); (если на билет выпал выигрыш автомобиля). Подсчитаем соответствующие этим значениям случайной величины вероятности.

То есть ряд распределения

Пример 2. Вероятность того, что студент сдаст семестровые экзамены по дисциплинам А и Б, равны соответственно 0, 7 и 0, 9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины X – числа сданных экзаменов могут быть 0, 1 и 2. Пусть – студент сдаст i – ый экзамен.

Ряд распределения случайной величины

Математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть заданы две дискретные величины своими рядами распределения:

Произведением kX случайной величины X на постоянную k назовем случайную величину, которая принимает значения с теми же вероятностями .

Определение. m – ой степенью случайной величины , то есть , назовем случайную величину, которая принимает значения с теми же вероятностями .

Пример. Дана случайная величина

Найти закон распределения а) ; б) .

Решение. а) Значения . Вероятности те же.

б) Значения случайной величины с теми же вероятностями. Случайная величина имеет два различных значения 1 и 4. Так как 4 можно получить, как , так и , то по теореме сложения вероятностей Итак, закон распределения случайной величины

Пусть закон распределения случайной величины , а случайной величины .

Определение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если выполняется соотношение , для всех и , где , а

Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y назовем случайную величину, которая принимает все возможные значения , где , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а случайная величина примет значение .

Пример. Даны законы распределения случайных величин

Найти законы распределения случайных величин а)

б)

Для удобства подсчета составим таблицу

		0,05	0,30	0,15
		0,02	0,12	0,06
		0,03	0,18	0,09

Например, X = 2 (второй элемент первого столбца), а Y = 0 (второй элемент первой строки). На пересечении строки и столбца стоит соответствующий элемент с вероятностью С учетом того, что среди 9 возможных значений есть одинаковые, получим закон распределения

Z:

б) Аналогично получается закон распределения