5.3. Стационарно связанные случайные процессы.

Производная и интеграл от стационарного случайного процесса

Cлучайные процессы X(t) и Y(t) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ =t₂-t₁: R_XY(t₁;t₂)=r_XY(τ).

Стационарность самих случайных процессов X(t) и Y(t) не означает их стационарной связанности.

Отметим основные свойства стационарно связанных случайных процессов, производной и интеграла от стационарных случайных процессов,

1) r_XY(τ)=r_YX(-τ).

2)

3)

4)

где

5) где

6) ;

Пример 13. Корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) имеет вид

Найти корреляционные функции, дисперсии, взаимные корреляционные функции случайных процессов X(t), , .

Решение.

Ограничимся анализом случая D_Х(t)=1.

Далее без комментариев:

Воспользуемся следующим соотношением:

Получаем:

Обратите внимание, что в результате дифференцирования стационарный случайный процесс X(t) переходит в стационарный случайный процесс , при этом X(t) и стационарно связаны. При интегрировании стационарного случайного процесса X(t) возникает нестационарный случайный процесс Y(t), и при этом X(t) и Y(t) не являются стационарно связанными.

5.4. Эргодические стационарные случайные процессы

и их характеристики

Среди стационарных случайных процессов есть особый класс процессов, называемых эргодическими, которые обладают следующим свойством: их характеристики, полученные усреднением множества всех реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации, наблюдаемой на интервале (0, T) достаточно большой продолжительности. То есть на достаточно большом временном промежутке любая реализация проходит через любое состояние независимо от того, каково было исходное состояние системы при t=0; и в этом смысле любая реализация полностью представляет всю совокупность реализаций.

Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина

Для любого стационарного случайного процесса в узком смысле X(t), имеющего конечное математическое ожидание с вероятностью 1 существует предел

для ССП с непрерывным временем,

для ССП с дискретным временем.

Если при этом X(t) – эргодический стационарный случайный процесс, то

В условии теоремы - условное математическое ожидание случайного процесса X(t) относительно J_x; J_x – -алгебра инвариантных по отношению к X(t) событий; событие А называется инвариантным относительно X(t), если B такое, что A={ω: X(ω,t) B}.

Достаточные условия эргодичности

Теорема 1. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно

математического ожидания, если его корреляционная функция

стремится к нулю при τ→∞;

при этом: .

Теорема 2. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно

дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-

чайного процесса Y(t)=X²(t) стремится к нулю при τ→∞;

при этом:

Теорема 3. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно

корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ кор-

реляционная функция стационарного случайного процесса

Z(t, τ)= ;

при этом:

При практических расчетах интервал (0;Т) разбивается на n равных частей в каждом промежутке выбирается точка t_i (например, середина). Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем

Пример 14. X(t) – эргодический стационарный случайный процесс, V – случайная величина, имеющая математическое ожидание m_v и дисперсию D_v (D_v≠0); X(t) и V независимы. Исследовать на эргодичность случайный процесс Y(t): Y(t)=X(t)+V.

Решение.

Так как случайный процесс X(t) и случайная величина V независимы, то

m_Y(t)=m_X(t)+m_v; k_Y(τ)=k_X(τ)+D_v.

При этом

Следовательно, случайный процесс Y(t) не является эргодичным по математическому ожиданию; то есть наложение на эргодический случайный процесс независимой случайной величины разрушает эргодичность.

Пример 15. Рассматривается простейший поток событий с интенсивностью λ. Случайный процесс X(t) принимает значения +а и –а (а>0); при этом X(t) скачком меняет свое состояние с +а на –а или наоборот в момент наступления очередного события в потоке. Найти характеристики случайного процесса X(t).

Решение.

По смыслу задачи события в потоке

происходят в произвольные моменты

времени (см. рис.), поэтому для любого

значения t с равной вероятностью ½ СП

X(t) может принимать значения +а, и –а;

Поэтому одномерный закон распределе-

ния каждого сечения очевиден (см. таб-

лицу). Получаем

m_Х(t)=-a·0,5+a·0,5=0;

D_Х(t)=(-a)²·0,5+a²·0,5=a².

X(t)	-a	+a
P	0,5	0,5

Корреляционная функция имеет вид:

K_X(t₁;t₂)=M((X(t₁)-m_X)(X(t₂)-m_X))=

=M(X(t₁)X(t₂)).

Произведение X(t₁)X(t₂) может принимать только два значения:

1. –а², если в интервале (t₁, t₂) в простейшем потоке произошло нечетное число событий;

2. а², если в интервале (t₁, t₂) в потоке происходит четное число событий.

Вероятность k событий на временном промежутке τ=t₂-t₁ (τ≥0) в простейшем потоке с интенсивностью λ находится по формуле Пуассона:

Поэтому полная вероятность всех четных k имеет вид:

Получаем следующее значение корреляционной функции:

(τ≥0).

Окончательно,

k_X(τ)→0 при τ→∞,

то есть случайный процесс X(t) стационарен и эргодичен.

Пример 16. По заданной реализации эргодического случайного процесса X(t) найти приближенные значения его характеристик.

Решение.

Временной интервал (0;20) разобьем на 10 интервалов точками

0, 2, 4,…, 20. В качестве расчетных моментов времени выбираем середины полученных интервалов:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ti	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
X(ti)	1	4	5	3	0	-2	-3	-2	-1	0
	1	16	25	9	0	4	9	4	1	0

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Корреляционная функция:

m=0: k_X(0)≈D_X=6,65

m=1:

m=2:

m=3:

m=4:

m=5:

m=6: =

m=7:

m=8:

m=9: