4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):

.

Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы А_t:

Y(t)=A_t(Х(t)).

Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.

1. Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор А_t системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.

2. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t) и требования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора А_t системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).

3. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t) и задан оператор А_t системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).

П ринята следующая классификация операторов А_t системы S:

Операторы системы

Линейные L Нелинейные N

Линейные однородные L₀ Линейные неоднородные L_н

1. Рассмотрим воздействие линейной неоднородной системы

L_н(...)=L₀(…)+φ(t)

на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:

.

Получаем:

введем обозначения

тогда каноническое разложение Y(t) приобретает вид:

.

Математическое ожидание случайного процессаY(t):

корреляционная функция случайного процесса Y(t):

следовательно,

.

С другой стороны

Дисперсия случайного процесса Y(t):

В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными.

2. Рассматривается квадратичное преобразование:

Y(t)=(X(t))²,

V_k-центрированные случайные величины, имеющие симметричное относительно нуля распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда

Введем неслучайные функции

и случайные величины

тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид

Представляем возможность читателю самостоятельно доказать центрированность и некоррелированность случайных величин V_k; U_k; W_km; k,m=1,...,n. Это, в свою очередь, означает, что получено каноническое разложение случайного процесса Y(t). Корреляционная функция Y(t):

Дисперсия:

Пример 9. Случайный процесс Х(t) имеет следующую структуру

где V_k центрированные некоррелированные случайные величины с дисперсиями ; а_k –const; k=1,2…;n. Найти характеристики и составить каноническое разложение случайного процесса Y(t):

Решение.

Cлучайный процесс Х(t) имеет следующие характеристики:

.

Поскольку случайный процесс Y(t) является результатом преобразования линейным однородным оператором случайного процесса Х(t), воспользуемся полученными ранее формулами:

Каноническое разложение случайного процесса Y(t) имеет вид:

.

Пример 10. Задан случайный процесс Х(t) следующего вида:

где U₁,U₂ - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0; ); Найти каноническое разложение и характеристики случайного процесса Y(t):

Решение.

Так как

то случайный процесс Y(t) может быть записан в такой форме:

где

Очевидно, что случайные величины центрированы:

Покажем, что они попарно некоррелированные. Так как независимы и центрированы, то

аналогично,

Таким образом, получено каноническое разложение случайного процесса Y(t):

где Так как в случае нормального распределения

(докажите!)

то

Следовательно,