Глава 6. Спектральная теория стационарных случайных процессов

6.1. Понятие спектрального разложения стационарного случайного

Процесса. Дискретные и непрерывные спектры. Спектральная плотность и ее свойства

1. Элементарный стационарный случайный процесс

Случайный процесс X(t) вида

X(t)=Ucosωt+Vsinωt,

где U и V – центрированные некоррелированные случайные величины; DU=DV=σ², ω – const; называется элементарным стационарным случайным процессом.

Как следует из Примера 11,

m_X(t)=0; K_X(t₁;t₂)=k_X(τ)=σ²cosωτ, τ=t₂-t₁; D_X(t)=σ²,

следовательно, X(t) – стационарный в широком смысле случайный процесс. Часто его записывают в виде гармоники

,

со случайной амплитудой , случайной фазой ωt+arctgU/V и частотой ω.

2. Сумма конечного числа гармоник

где U_p и V_p – центрированные некоррелированные случайные величины; DU_p=DV_p= . Легко показать, что

m_X(t)=m_X;

3. Сумма бесконечного (счетного) числа гармоник

где U_p и V_p – центрированные некоррелированные случайные величины, DU_p=DV_p= . Как и ранее

m_X(t)=m_X;

Запись стационарного случайного процесса X(t) в виде суммы гармоник со случайными амплитудами, случайными фазами и фиксированными частотами называется его спектральным разложением. Совокупность дисперсий всех гармоник стационарного случайного процесса называется дискретным спектром. Обычно дискретный спектр изображают в виде набора вертикальных отрезков, откладываемых от оси абсцисс в точках ω_p и имеющих длину .

Если корреляционная функция k_X(τ) является периодической функцией с периодом 2T, то она может быть легко разложена в ряд Фурье по косинусам:

При этом коэффициенты разложения D_p образуют дискретный спектр, а координатные функции позволяют записать каноническое разложение самого стационарного случайного процесса с точностью до m_X.

Очевидно, что если корреляционная функция k_X(τ) не обладает свойством периодичности, то стационарный случайный процесс не обладает дискретным спектром. В этом случае ограничиваются разложением корреляционной функции в ряд Фурье на представляющем интерес отрезке [-T; T]. Но следует помнить, что увеличение отрезка: [-T; T] [-T'; T'] приводит к совершенно иному разложению, не совпадающему с первоначальным даже на отрезке [-T; T]. Другими словами, нет однозначности в разложении k_X(τ) на отрезке [-T; T]; вне указанного отрезка вообще отсутствует сходимость к k_X(τ).

Каноническому разложению стационарного случайного процесса X(t) можно придать комплексную форму

где

При этом корреляционная функция k_X(τ) принимает вид

4. Непрерывный спектр. Спектральная плотность Теорема Винера-Хинчина.

Пусть X(t) - стационарный случайный процесс с непрерывным временем, тогда существует и притом единственная ограниченная монотонно неубывающая функция S*(ω) такая, что корреляционная функция имеет вид:

Если функция S*(ω) дифференцируема:

,

то имеют место так называемые формулы Винера-Хинчина:

Функция называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса X(t) в комплексной форме.

Функция , ω≥0 называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса X(t).

Спектральная плотность s_X(ω) и корреляционная функция k_X(τ) связаны прямым и обратным косинус-преобразованием Фурье:

Функция вида

называется нормированной спектральной плотностью стационарного случайного процесса X(t).

Свойства спектральной плотности, нормированной спектральной плотности, спектральной плотности в комплексной форме.

1)

2)

3) s_X(ω)≥0; s_{X норм}(ω)≥0;

4) , то есть спектральная плотность

является плотностью распределения дисперсии стационарного случайно-

го процесса по частоте;

5) .

Пусть X(t) и Y(t) – стационарные и стационарно связанные случайные процессы со взаимной корреляционной функцией r_XY(τ). Функция s_XY(ω) вида

называется взаимной спектральной плотностью.

Очевидно, что r_XY(τ) и s_XY(ω) связаны преобразованием Фурье:

В случае непрерывного спектра стационарный случайный процесс X(t) имеет следующее интегральное каноническое представление:

где U(ω) и V(ω) представляют собой «белый шум», то есть

,

s_X(ω) – спектральная плотность.

Для наиболее часто встречающихся стационарных случайных процессов существуют таблицы соответствия корреляционной функции k_X(τ) и спектральной плотности в комплексной форме (см. Приложение 3).

Пример 17. Найти спектральную плотность следующих стационарных случайных процессов:

а) ω₀>0; X(t) – элементарный ССП;

б) ;

в) X(t) – стационарный «белый шум»;

г) X(t) – стационарный случайный процесс из Примера 15.

Решение.

а)

следовательно,

Так как ω₀>0, ω≥0, то ω+ ω₀>0; δ(ω+ ω₀)=0.

Окончательно получаем

s_X(ω)=σ²δ(ω-ω₀).

Заметим, что в случае ω₀=0:

X(t)=U; m_X=0; k_X(τ)=σ²; s_X(ω)=σ² δ(ω).

б) В соответствии с теорией

поэтому по аналогии с предыдущей задачей получаем

Обратите внимание на следующий факт: если случайный процесс является суммой счетного числа гармоник, то есть имеет дискретный спектр, то спектральная плотность представляет собой линейную комбинацию δ-функций Дирака, принимающих бесконечное значение в точках спектра, а коэффициентами этой линейной комбинации являются соответствующие дисперсии отдельных гармоник.

в) Так как X(t) – «белый шум», то k_X(τ)=W·δ(τ), следовательно,

,

где W – интенсивность «белого шума».

г) Стационарный случайный процесс X(t) из Примера 15 обладает следующей корреляционной функцией

поэтому спектральная плотность s_X(ω) имеет вид:

Так как

,

то