2.5 Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных процессов

X(t) и Y(t) равно сумме их математических ожиданий:

m_X+Y(t)= m_X(t)+m_Y(t).

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух случайных процессов

X(t) и Y(t) имеет вид:

K_X+Y(t₁; t₂)=K_X(t₁; t₂)+K_Y(t₁; t₂)+R_XY(t₁; t₂)+R_YX(t₂; t₁).

Следствие 1. Если случайные процессы X(t) и Y(t) некоррелированны, то

K_X+Y(t₁; t₂)=K_X(t₁; t₂)+K_Y(t₁; t₂); D_X+Y(t)=D_X(t)+D_Y(t).

Следствие 2. Если случайный процесс X(t) и случайная величина Y

некоррелированны, то

K_X+Y(t₁; t₂)=K_X(t₁; t₂)+D_Y.

Пример 3. Рассматривается случайный процесс Y(t)=Xe^-t (t≥0), где X - нормально распределенная с параметрами m и σ случайная величина. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционные функции, одномерную плотность распределения.

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(Xe^-t)=e^-tm_X=me^-t.

Дисперсия: D_Y(t)=D(Xe^-t)=e^-2t DX=σ²e^-2t.

Стандартное отклонение:

Корреляционная функция: K_Y(t₁; t₂)=M((X -m )(X -m ))=

= M(X-m)²=σ² .

Нормированная корреляционная функция:

По условию задачи случайная величина X распределена нормально; при фиксированном значении t сечение Y(t) линейно зависит от случайной величины X, и по свойству нормального распределения сечение Y(t) также распределено нормально с одномерной плотностью распределения:

Пример 4. Найти основные характеристики случайного процесса Y(t)=We^-Ut (t>0), где W и U - независимые случайные величины; U распределена равномерно на отрезке [0; а]; W имеет математическое ожидание m_W и стандартное отклонение σ_W.

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(We^-Ut)=MWM(e^-Ut)=m_wM(e^-Ut);

, (t>0).

Корреляционная функция:

так как

то

Дисперсия:

Пример 5. Найти одномерный закон распределения случайного процесса: Y(t)=Vcos(Ψt-U), где V и U независимые случайные величины; V нормально распределена с параметрами (m_V; σ_V); Ψ-const; U- равномерно распределена на отрезке [0; 2π].

Решение.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t):

Дисперсия:

Стандартное отклонение:

Переходим к выводу одномерного закона распределения. Пусть t-фиксированный момент времени, и случайная величина U принимает фиксированное значение U=u - const; u [0; 2π], тогда получаем следующие условные характеристики случайного процесса Y(t):

M(Y(t)| U=u)=m_Vcos(Ψt-u);

D(Y(t)| U=u)= cos²(Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= |cos(Ψt-u)|.

Так как случайная величина V распределена нормально и при заданном значении случайной величины U=u все сечения линейно зависимы, то условное распределение в каждом сечении является нормальным и имеет следующую плотность:

Безусловная одномерная плотность случайного процесса Y(t):

Очевидно, что это распределение уже не является нормальным.