Глава 5. Стационарные cлучайные процессы

5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в

узком и широком смыслах

Значительное число происходящих в природе событий, в частности, связанных с эксплуатацией технических устройств, носит «почти» установившийся характер, то есть картина таких событий, подверженных незначительным случайным флуктуациям, тем не менее, в целом с течением времени сохраняется. В этих случаях принято говорить о стационарных случайных процессах.

Например, летчик выдерживает заданную высоту полета, но разнообразные внешние факторы (порывы ветра, всходящие потоки, изменение тяги двигателей и т.п.) приводят к тому, что высота полета колеблется около заданного значения. Другим примером могла бы служить траектория движения маятника. Если бы он был предоставлен сам себе, то при условии отсутствия систематических факторов, приводящих к затуханию колебаний, маятник находился бы в режиме установившихся колебаний. Но различные внешние факторы (порывы ветра, случайные колебания точки подвеса и т.п.), не меняя в целом параметров колебательного режима, делают характеристики движения не детерминированными, а случайными.

Стационарным (однородным во времени) называют случайный процесс, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то есть являются инвариантными относительно временных сдвигов.

Различают случайные процессы стационарные в широком и узком смысле.

Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс Х(t), все вероятностные характеристики которого не меняются со временем, то есть

таких, что

выполняется условие

F(t₁; t₂;… ;t_n; x₁; x₂;…; x_n)=F(t₁+τ; t₂+τ;… ;t_n+τ; x₁; x₂;…; x_n),

и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t₁; t₂;… ;t_n, а от длительности временных промежутков τ_i:

В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:

двумерная плотность сечений в моменты времени t₁ и t₂

n-мерная плотность сечений в моменты времени t₁; t₂...; t_n:

Случайный процесс Х(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями:

Очевидно, что стационарный случайный процесс в узком смысле является стационарным случайным процессом и в широком смысле; обратное утверждение не верно.

5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного

процесса

1.

3. Корреляционная функция стационарного случайного процесса четна:

4. Дисперсия стационарного случайного процесса есть константа, равная

значению ее корреляционной функции в точке :

5.

6. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является

положительно определенной, то есть

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса также четна, положительно определена и при этом

Пример 11. Найти характеристики и сделать вывод о типе случайного процесса Х(t):

где U₁ и U₂ - некоррелированные случайные величины;

Решение.

Следовательно, случайный процесс Х(t) является стационарным в широком смысле. Как следует из Примера 10, если U₁ и U₂ независимые, центрирование и нормально распределенные случайные величины, то случайный процесс также является стационарным в широком смысле.

Пример 12. Доказать стационарность в широком смысле случайного процесса Х(t):

где V и независимые случайные величины; MV=m_V - const; - равномерно распределенная на отрезке случайная величина;

Решение.

Запишем Х(t) следующим образом:

Так как случайная величина равномерно распределена на отрезке , то плотность распределения имеет вид:

следовательно,

Получаем

Так как cлучайный процесс Х(t) имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а корреляционная функция является функцией , то вне зависимости от закона распределения случайной величины V случайный процесс Х(t) является стационарным в широком смысле.