8.5. Меры оценки тесноты связи для атрибутивных признаков
Для измерения связи между качественными (атрибутивными) признаками в статистике используются следующие коэффициенты:
- сопряженности А.А. Чупрова;
- ассоциации К. Пирсона;
- ранговой корреляции Спирмена, Кендалла, Фехнера.
Применение первых двух показателей основано на построении таблиц сопряженности. Расчет этих показателей достаточно сложный и поэтому рассматриваться не будет, хотя дает наиболее точные измерения корреляционной зависимости.
Менее точным, но более распространенными ввиду несложности применения, являются коэффициенты ранговой корреляции [13]:
Коэффициент Фехнера рассчитывается на основе сравнения параллельных рядов. С его помощью можно установить направление связи и ее тесноту:
где
– число совпадений знаков отклонения
индивидуальных значений от средних
значений признаков;
– число
несовпадений.
Коэффициент корреляции Спирмена:
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла τ (тау):
где d– разность рангов;
n–число наблюдений.
Ранг – это порядковый номер упорядоченного по убыванию или возрастанию ряда значений признака.
P и Q – определяются для неупорядоченного ряда (ряд результативного признака у);
P равен сумме рангов, больших, чем взятый ранг (со знаком «+»);
Q равно сумме рангов, меньших, чем взятый ранг (со знаком «-»).
Пример расчета коэффициентов Фехнера, Спирмена, Кендалла.
В табл. 34 имеются два параллельных ряда преступлений и правонарушений. Предположим, что чем больше правонарушений, тем выше число преступлений, т.е. число правонарушений является свидетельством более высокой преступности. Ряд числа правонарушений обозначим за х (фактор), а ряд числа преступлений за у (результат). Оценим взаимосвязь между признаками с помощью коэффициентов Фехнера, Спирмена, Кендалла.
Таблица 34
Данные для расчета коэффициентов Фехнера, Спирмена и Кендалла
№ п.п. |
Правонарушения х |
Преступления у |
По Фехнеру |
По Спирмену |
||||
Знаки отклонения от средней |
Ранги по признакам |
Разность рангов |
||||||
х |
у |
х
|
у |
d |
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
38 |
6 |
- |
- |
1 |
3 |
2 |
4 |
2 |
45 |
5 |
- |
- |
2 |
2 |
0 |
0 |
3 |
59 |
4 |
- |
- |
3 |
1 |
2 |
4 |
4 |
68 |
8 |
+ |
+ |
4 |
5 |
1 |
1 |
5 |
75 |
7 |
+ |
- |
5 |
4 |
1 |
1 |
6 |
79 |
10 |
+ |
+ |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
93 |
12 |
+ |
+ |
7 |
7 |
0 |
0 |
|
65.3 |
7.4 |
|
|
|
|
|
10 |
1. По данным табл. 34 рассчитаем коэффициент Фехнера:
Сравним графы 4 и 5, в которых отражены знаки отклонений от средних, и считаем число совпадений знаков и несовпадений. Например, несовпадение знаков наблюдается только в строке 5, по всем остальным строкам знаки совпадают: либо оба положительные, либо отрицательные.
Коэффициент Фехнера изменяется от 1 до -1. Значение коэффициента близко к единице, что свидетельствует о существенной прямой согласованности в изменении признаков. Связь между числом правонарушений и числом преступлений сильная.
2. По данным табл. 34 рассчитаем коэффициент Спирмена. Ряд х (правонарушения) проранжируем (упорядочим) по возрастанию (графа 6), затем проставим ранги по ряду у, не меняя значения местами (графа 7). Найдем разницу между рангами и возведем в квадрат (графы 8 и 9).
Расчет коэффициента Спирмена также подтверждает наличие сильной связи между признаками.
3. По данным табл. 34 рассчитаем коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Расчет представим в табл. 35.
P и Q – определяются для неупорядоченного ряда (в нашем случае это ряд у).
P равен сумме расположенных ниже рангов, больших, чем взятый ранг (со знаком «+»). Например: берем первый ранг – 3 и считаем, сколько расположенных ниже значений рангов превышают значение первого, равного 3, записываем в графе Р 4, берем следующий, равный 2, считаем нижние значения, превышающие 2, и т.д.
Q равно сумме рангов, меньших, чем взятый ниже ранг (со знаком «-»), рассчитываем аналогично:
Таблица 35
Расчет коэффициентов ранговой корреляции Кендалла
№ п.п. |
Ранг у |
Р |
Q |
S |
1 |
3 |
4 |
-2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
-1 |
3 |
3 |
1 |
4 |
0 |
4 |
4 |
5 |
2 |
-1 |
1 |
5 |
4 |
2 |
0 |
2 |
6 |
6 |
1 |
0 |
1 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
Итого |
- |
- |
- |
13 |
=0,619.
На основании коэффициента Кендалла можно сделать вывод об умеренной связи между признаками.
При расчете различных измерителей корреляционной связи на основании одних и тех же данных мы получаем разные результаты. Это говорит не о том, что мы получили неверные результаты, а об условности измерителей.
По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи (табл. 36):
Таблица 36