Вариант 10
1. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?
2. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что среди извлечённых наугад трёх шаров, два шара окажутся чёрными?
3. В двух ящиках находятся шары, отличающиеся только цветом, причём в первой урне 5 белых и 11 чёрных, а во второй соответственно – 10 и 8. Из каждого ящика наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что: а) оба шара одного цвета; б) оба шара разных цветов.
4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,6.
5. Медицинский анализ выявляет имеющуюся у больного болезнь A c вероятностью 0,8 и ошибочно указывает на эту болезнь при её отсутствии с вероятностью 0,05. У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом о болезни А, болезнь А встречается с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что у пациента анализ укажет на болезнь А. Вычислить вероятность того, что у пациента действительно имеется болезнь А, если на неё указал медицинский анализ.
6. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
7. Среди 240000 городских ламп каждая будет гореть в течение года с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что к концу года будут гореть от 14160 до 14880 ламп?
8. Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения д.с.в. X – количества выпадений чётного числа очков.
9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.
X |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
|
а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.
б) Найти закон
распределения и математическое ожидание
случайной величины
.
10. Дана плотность вероятности случайной величины X.
Найти:
а) значение параметра C;
б) функцию распределения вероятности ;
в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
г) ;
д) построить графики и .
11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:
.
Найти:
а) ;
б) среднее квадратическое отклонение ;
в) значение коэффициента А;
г) ;
д)
.
12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.
X\Y |
0 |
1 |
2 |
1 |
0,1 |
0,05 |
d |
2 |
0,05 |
0,2 |
0,15 |
Найти:
а) значение коэффициента d;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.
13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:
где
.
Найти:
а) значение коэффициента C;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.