Вариант 3
1. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 12 спортсменов?
2. В десятиэтажном доме лифт может останавливаться на девяти этажах, начиная со второго. В лифт вошли три пассажира, каждый из которых с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже. Найти вероятность того, что пассажиры выйдут на разных этажах.
3. В коробках находятся детали: в первой – 20, из них 13 стандартных; во второй – 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными; б) одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные.
4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,5.
5. В норе сидят 6 мышей и 9 крыс. Одно из животных выбегает из норы. Вероятность того, что кот поймает мышь, равна 0,8, крысу 0,4. Найти вероятность того, что выбежавший грызун будет пойман. Какова вероятность, что из норы выскочила мышь, если известно, что кот поймал грызуна?
6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равно 0,5. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель?
7. Монета подбрасывается 2010 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 1000 раз?
8. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при втором – 0.7, при третьем – 0.8. Стрельба по цели ведётся до получения одного попадания, но производится не более трёх выстрелов. Найти ряд распределения случайной величины X – числа выстрелов.
9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.
X |
– 2 |
0 |
1 |
2 |
P |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
|
а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.
б) Найти закон
распределения и математическое ожидание
случайной величины
.
10. Дана плотность вероятности случайной величины X.
Найти:
а) значение параметра C;
б) функцию распределения вероятности ;
в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
г) ;
д) построить графики и .
11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:
.
Найти:
а) ;
б) среднее квадратическое отклонение ;
в) значение коэффициента А;
г) ;
д)
.
12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.
X\Y |
– 2 |
0 |
1 |
1 |
0,1 |
0,2 |
d |
2 |
0,05 |
0,1 |
0,25 |
Найти:
а) значение коэффициента d;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.
13. Дана плотность вероятности двумерной случайной величины:
где
.
Найти:
а) значение коэффициента C;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.