1.1.1 Ықтималдықты классикалық және статистикалық анықтау
Ықтималдықты классикалық анықтау
Осы оқиғаға қолайлы болған нәтижелер санының толық топты құрайтын барлық тең мүмкіндікті бірлеспеген элементар нәтижелердің қатынасын оқиғаның ықтималдығы А деп атайды
.
(1.1)
Классикалық анықтау салдарлары:
1) ең анық оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең;
іске асырылмайтын оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең;
кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы дегеніміз 0-ден 1-ге дейінгі оң сан.
Ықтималдықты статистикалық анықтау
Оқиға пайда болған сынау (өлшеу) санының нақтылы жүргізілген сынаудың жалпы санына қатынасын салыстырмалы жиілік деп атайды
.
(1.2)
Сынау саны көп болғанда салыстырмалы жиілік қандай да бір тұрақты санға жақындап (сынау саны неғұрлым көп болса, соғұрлым дәлірек), тұрақтылық қасиетін байқайды.
Ықтималдықты классикалық анықтау элементар нәтижелердің жалпы санының шекті екендігін болжайды. Практикада іске асырылатын нәтижелер саны шексіз болатын сынаулар өте жиі кездеседі. Осы себеппен классикалық анықтаумен қатар ықтималдықты статистикалық анықтау тұжырымдалған. Оқиғаның статистикалық ықтималдығы ретінде салыстырмалы жиілікті немесе оған жақын санды қабылдайды.
Бернулли теоремасы (үлкен сандар заңы). Егер n тәуелсіз сынаудың әрқайсысында А оқиғаның пайда болу ықтималдығы p тұрақты болса, онда сынау саны айтарлықтай үлкен болғанда p ықтималдығы W салыстырмалы жиіліктің шегі болып табылады
.
(1.3)
1.1.2 Кездейсоқ оқиғалар түрлері
Егер олардың біреуінің пайда болуы сол бір сынауда басқа оқиғаларды пайда болдырмаса, оқиғалар бірлеспеген деп аталады.
Егер оқиғалардың біреуінің пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, оқиғалар тәуелсіз деп аталады.
Оқиғалардың толық тобы. Егер сынау нәтижесінде олардың дегенмен біреуі пайда болса, бірнеше оқиға толық топты құрайды. Егер толық топты құрайтын оқиғалар бірлеспеген болса, онда сынау нәтижесінде осы оқиғалардың біреуі және тек қана біреуі пайда болады.
Сынау
нәтижесінде толық топты құрайтын n
бірлеспеген
оқиғалардың
біреуі
және тек біреуі ғана болуы мүмкін болсын.
Толық топты құрайтын оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы бірге тең
.
(1.4)
Қарама-қарсы оқиғалар. Толық топты құрайтын екі жалғыз мүмкін оқиғаны қарама-қарсы деп атайды. Мысалы, нысанаға атқанда тию және мүлт кету – қарама-қарсы оқиғалар.
Қарама-қарсы оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы бірге тең
.
(1.5)
Егер екі қарама-қарсы оқиғаның біреуінің ықтималдығы р арқылы белгіленсе, онда екінші оқиғаның ықтималдығын q арқылы белгілейді. Сонымен, алдыңғы теорема күшінде p + q = 1.
1.1.3 Ықтималдықтарды қосу теоремасы
А оқиғасының немесе В оқиғасының немесе осы екі оқиғаның да пайда болуынан тұратын оқиғаны А және В екі оқиғасының қосындысы (А+В) деп атайды. Егер А және В оқиғалары бірлеспеген болса, онда (А+В) – олардың біреуінің пайда болуынан тұратын оқиға.
Екі бірлеспеген оқиғаның біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалар ықтималдықтарының қосындысына тең
.
(1.6)
Салдары. Екі-екіден бірлеспеген бірнеше оқиғаның біреуінің пайда болу ықтималдығы, қайсысы екені бәрі бір, осы оқиғалар ықтималдықтарының қосындысына тең
.
(1.7)
1.1-мысал.
Сауытта
30
шар: 10 қызыл, 5 көк және 15 ақ шар бар.
Түрлі-түсті шардың пайда болу ықтималдығын
табу керек. түсті шардың пайда болуы не
қызыл, не көк шардың пайда болуын
білдіреді. Қызыл шардың пайда болу
ықтималдығы (А оқиғасы) Р(
А)
=10/30
=1/3. Көк шардың пайда болу ықтималдығы
(В оқиғасы) Р(В) = 5/30= 1/6. А
және В
оқиғалары
бірлеспейді (бір түсті шардың пайда
болуы басқа түсті шардың пайда болуын
жоққа шығарады), сондықтан қосу теоремасы
қолданылады. Ізделіп отырған ықтималдық
.
Бірлескен оқиғалар ықтималдықтарын қосу теоремасы
Екі бірлескен оқиғаның дегенмен біреуінің пайда болу ықтималдығы олардың бірлесіп пайда болуы ықтималдығынсыз, осы оқиғалар ықтималдықтарының қосындысына тең
.
(1.8)
1.2-мысал. Алдыңғы есеп жағдайларында алынған тетіктің не стандартты, не боялған, не болмаса стандартты және боялған (С=А+В оқиғасы) болу ықтималдығын анықтаймыз.
1-тәсіл. (1.8) формула бойынша аламыз
.
2-тәсіл. Стандартты емес боялмаған тетікті алудың қарама-қарсы оқиға болып табылатынын байқаймыз
.
Сонда
.